Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural PRESENTACION DE UN NUEVO MODELO MATEMATICO PARA EL CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACION EN SUELOS ESTRATIFICADOS (AGH- 2010) ING. JOSE ALEJANDRO GOMEZ HERNÁNDEZ

RESUMEN El objetivo del presente estudio es presentar un nuevo modelo matemático para calcular el período fundamental (dominante de sitio) de vibración para suelos estratificados con base en los métodos de la dinámica de suelos y de la mecánica de sólidos. Como alternativa al aportado también por AGH en el XII Congreso de Ingeniería Estructural – Nov./2000, en la ciudad de León, Gto. México de la S.M.I.E. el cual actualmente esta incorporado a las Normas Técnicas Complementarias para Diseño Sísmico – 2004, del Reglamento de construcción de México D.F. y al Manual de Diseño Sísmico de la CFE - 2008. SUMMARY This paper presents a mathematical model for calculation of the vibration fundamental period for stratified soil (site period ). This 1D model is based on the theory of dynamics of soils and the mechanics of solids. This model is an alternative for the current model of the Mexican seismic design code, also by AGH-2000. INTRODUCCION El problema de calcular el período fundamental (dominante de sitio) de vibración de un suelo estratificado como normalmente son los suelos reales es de gran importancia para el diseño sísmico de las estructuras ya que de no hacerlo se corre el riesgo de que el sistema suelo-estructura entre dentro del rango en el cual ocurre el fenómeno de resonancia, propiciando efectos destructivos en la estructura, como resultado de la amplificación de acciones que genera la resonancia. Este parámetro es determinante en el comportamiento dinámico de las estructuras, por estas razones es importante calcular su magnitud, con la mejor precisión posible. ANTECEDENTES Este importante problema ya ha sido estudiado por varios investigadores, los cuales han propuesto diversos modelos de diferentes tipos como lo son los analíticos, los empíricos y los semiempíricos. En este estudio se presenta un modelo de tipo analítico, considerando comportamiento elástico lineal en el suelo modelado y todas las hipótesis pertenecientes a la mecánica de sólidos y a la dinámica estructural, las cuales se dan por conocidas. Los modelos existentes los hay desde los muy simplistas hasta los complicados y sus resultados presentan dispersiones importantes. Los modelos analíticos basados en comportamiento elástico lineal tienen una dispersión mucho menor entre los de su mismo tipo. El modelo que aquí se presenta se comparara contra cuatro modelos aceptados en el medio nacional e internacional, como lo son los métodos de las Rigideces (1D), el de Elemento finito en 2D, en 3D y el método también aportado por el autor Ing. Alejandro Gómez Hernández, en el Congreso Nacional de Ingeniería Estructural de la SMIE en León, Gto. en el año 2000, conocido como AGH-2000 (Ecuación A-7 de las NTC de sismo, RCDF/04 y Ecuación 1.2 del MDS-CFE/08). Los resultados de estos cuatro métodos tienen diferencias entre si de menos del 6 %. El cálculo del período fundamental de perfiles de suelo ha sido el tema de numerosos estudios de la respuesta dinámica del suelo y de efectos de sitio que son de gran importancia en la ingeniería sísmica. Una evaluación extensiva de algunos procedimientos por Dobry, AGH y otros llegó a la conclusión de que tanto un modelo simplificado obtenido con el método de Rayleigh, el MEF así como el uso sucesivo de la solución analítica de un suelo con dos estratos por Madera dan errores de menos del 10 % para cada uno de los 96 perfiles de suelo representativos considerados en los diferentes trabajos de evaluación. ___________________________________ * Director General de AGH Ingenieros, A. C. MEXICO, D. F. / TEL.-55-24-72-22

( Consultor en Ingeniería Estructural y Geotécnica – UNAM ) / CEL.- 044-55-27199018 / e-mail: [email protected]

1

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León, Gto. 2010.

El nuevo modelo aquí propuesto puede ser considerado una alternativa más simple que otros modelos basados también en el método de Rayleigh para el cálculo del período fundamental y forma aproximada del primer modo en perfiles de suelo estratificados horizontalmente. Estos modelos como se ha comprobado experimentalmente mediante instrumentación dan resultados muy precisos especialmente en los valles aluviales con suelos blandos como el de la ciudad de México. Cabe aclarar que los modelos semiempíricos (ingenuos) basados en promedios armónicos o aritméticos pesados de las propiedades físicas del suelo pueden tener errores en sus resultados del orden del 100% y aun mayores en suelos estratificados horizontalmente con contrastes de rigidez y/ó masa importantes, por lo antes dicho no se justifica su aplicación en la practica de la ingeniería como ocurrió en los reglamentos de diseño sísmico de México RCDF y NTC en los años 70’s, 80’s, 90’s., MDS-CFE - 93 y en E.U.A. en el UBC-1976, entre otros. Los reglamentos de diseño sísmico modernos del año 2000 en adelante tienden a usar espectros de diseño de sitio simplificados para su aplicación requieren del calculo del período fundamental (dominante de sitio) de vibración para suelos estratificados por esta razón también es importante el modelo aquí propuesto.

MODELO MATEMATICO Este nuevo modelo desarrolla una solución cerrada basada en el método de Rayleigh que tiene por objeto calcular el período fundamental de vibración de un suelo estratificado con “n” estratos horizontales y semiinfinitos con propiedades diferentes en cada uno. El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis teóricas; el comportamiento del suelo es de tipo elástico lineal y cumple con todas las hipótesis simplificadoras de la dinámica estructural y de la mecánica de sólidos, el modelo es unidimensional. El modelo acepta que una viga de cortante en cantilever es capaz de representar al suelo estratificado como usualmente se considera en la practica de la ingeniería de suelos. La solución es aproximada. Considerando que las premisas antes citadas son aproximadamente isomorfas al sistema real en una etapa de su comportamiento, como la experiencia lo indica. Además el análisis dinámico tiene su propio rango de aproximación. En resumen el modelo cumple su objetivo satisfactoriamente, dentro de los rangos usuales en mecánica de suelos e ingeniería sísmica.

VIGA DE CORTANTE DE SUELO ESTRATIFICADO PLANTEAMIENTO DEL MODELO MATEMÁTICO DEFINICION DE VARIABLES, PARAMETROS Y FORMULAS QUE LOS RELACIONAN

fVi H i Gi Ai

x i 

f  1.00



10



Gi  (

i g

(desplazamiento relativo por cortante en el estrato “i” en el sentido “x”)

(factor de forma para una sección de suelo de extensión semí-infinita)

 1.0066

)v s2

(factor de calibración de formula para el período fundamental de suelo)

módulo de rigidez a cortante dinámico ( v s =Velocidad de onda ”S”)

n

H   H i

(espesor total del estrato)

1

2

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H i = espesor del estrato”i”

Ai 

área de la sección transversal del estrato ”i”

Vi =

fuerza cortante en la sección transversal del estrato ”i”

Ki 

Vi xi

g  (9.81 m/seg2)

mi 

i g

 i  mi g vs 

G m



2 TS

Ts  fs 

2

 1 Ts

rigidez a cortante del suelo en el estrato ”i” aceleración de la gravedad

masa especifica (densidad) del estrato”i”

peso especifico (peso volumétrico) del estrato”i”

velocidad de ondas “S” (ondas de cortante: v s >760 m/seg.=>roca)

(frecuencia circular del suelo en rad. / seg.)

(período fundamental de suelo en seg.)

(frecuencia del suelo en Hz.)

CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DEL SUELO PARA UN ESTRATO HOMOGENEO La teoría de la elasticidad dinámica establece que para un estrato homogéneo el periodo fundamental de vibración teóricamente exacto es:

La ecuación diferencial parcial de onda unidimensional que define “ Ts ” es :

La ecuación del periodo fundamental de un estrato homogéneo es : T s 

2 2x 2  x  vs t 2 z 2

4H  4H vs

m G

(Ec.1)

(Ec.2)

3

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PERFIL DE SUELO ESTRATIFICADO CON PROPIEDADES FÍSICAS VARIABLES CON LA PROFUNDIDAD “Z”

DEDUCCIÓN DE UNA NUEVA FORMULA DE AGH – 2010 PARA CALCULAR EL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN DEL SUELO ESTRATIFICADO “Ts” APLICANDO LA LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA (Energía cinética) = (Energía potencial) = (Trabajo mecánico)

1 2



g

x 2 ( z ) dm 

0

1  ( z ) A ( z ) dz g

dm 

2

H



H

0

1 2



H

0

;

x ( z ) ( z ) A ( z ) dz  2

x ( z ) dF

(Ec.03)

dF   ( z ) A ( z ) dz



H

0

x ( z ) ( z ) A ( z ) dz

4

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural FRECUENCIA CIRCULAR FUNDAMENTAL DEL PERFIL DEL SUELO ESTRATIFICADO CON AREA TRANSVERSAL Y PESO VOLUMÉTRICO VARIABLES:

A(z)=fA(z),

 (z)= fγ(z)

H



g   ( z ) A( z ) x ( z ) dz



0 H

0

 ( z ) A( z ) x 2 ( z ) dz

(Ec.04)

EL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN DEL SUELO ESTRATIFICADO “Ts”

2 Ts  g

H

  0

H

0

 ( z ) A( z ) x 2 ( z ) dz  ( z ) A( z ) x ( z ) dz

(Ec.05)

SOLUCION APROXIMADA POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA POR LA REGLA DE LOS RECTANGULOS

n

Ts 

2 g

2  A x  i i i H i 0 n

  A x H i

i i

i

(Ec.06)

0

Se mejora la aproximación de esta formula a el resultado correcto para el mismo numero “n” de incrementos “H” si se usa la regla de integración numérica de los trapecios.

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FRECUENCIA CIRCULAR FUNDAMENTAL DEL PERFIL DEL SUELO ESTRATIFICADO CON AREA TRANSVERSAL CONSTANTE Y PESO VOLUMÉTRICO VARIABLE:

A(z)=Ao ,  (z)= fγ(z) (Este caso es el que se aplica generalmente al suelo blando de un valle aluvial como el de la Cd. de México.)

H



g   ( z ) x ( z ) dz



0 H

0

 ( z ) x 2 ( z ) dz

(Ec.07)

EL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN DEL SUELO ESTRATIFICADO “Ts”

2 Ts  g

H

  0

 ( z ) x 2 ( z ) dz

H

0

 ( z ) x ( z ) dz

(Ec.08)

SOLUCION APROXIMADA POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA POR LA REGLA DE LOS RECTANGULOS

n

Ts 

2 g

2  x  i i H i 0 n

  x H i i

i

(Ec.09)

0

Se mejora la aproximación de esta formula a el resultado correcto para el mismo numero “n” de incrementos “H” si se usa la regla de integración numérica de los trapecios.

6

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural FRECUENCIA CIRCULAR FUNDAMENTAL DEL PERFIL DEL SUELO ESTRATIFICADO CON AREA TRANSVERSAL Y PESO VOLUMÉTRICO CONSATANTES:

A(z)=Ao,

 (z)=

o

H



g  x ( z ) dz



0 H

0

x 2 ( z ) dz

(Ec.10)

EL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN DEL SUELO ESTRATIFICADO “Ts”

2 Ts  g

H

  0

H

0

x 2 ( z ) dz x ( z ) dz

(Ec.11)

SOLUCION APROXIMADA POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA POR LA REGLA DE LOS RECTANGULOS

n

2 Ts  g

 x H 2 i

i

 x H

i

0 n

i

(Ec.12)

0

Se mejora la aproximación de esta formula a el resultado correcto para el mismo numero “n” de incrementos “H” si se usa la regla de integración numérica de los trapecios.

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SOLUCION ALTERNA APROXIMADA POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA POR LA REGLA DE LOS RECTÁNGULOS

EL NUMERO “n” DE INCREMENTOS “H” CON LA RELACION “H= H/

n

Ts 

2 g

n”

IMPLICA:

x

2 i

0 n

x

(Ec.13)

i

0

DONDE :

0.50 m.  H  1.00 m.

CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS “

 x i ” Y TOTALES “ xi ”

Fuerza cortante por nivel de un suelo estratificado discreto de extensión semi-infinita no uniforme y profundidad finita “H”:

j = n...1

j

V j    j A j H j

(Ec.14)

n

Desplazamientos relativos “

 x i ” y totales “ xi ” por fuerza cortante en cada nivel de un suelo

estratificado discreto de extensión semi-infinita no uniforme y profundidad finita:

V H xi  i i Gi Ai

xi 

i

 x i 1

i

(Ec.15)

8

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Fuerza cortante por nivel de un suelo estratificado discreto de extensión semi-infinita ( A j  1 ) y profundidad finita “H”:

uniforme

j = n...1

j

V j    j (1) H j

(Ec.16)

n

Desplazamientos relativos “

 x i ” y totales “ xi ” por fuerza cortante

en cada nivel de un suelo estratificado discreto de extensión semi-infinita uniforme ( Ai  1 ) y profundidad finita:

V H xi  i i Gi (1)

xi 

i

 x i 1

i

(Ec.17)

x (z )

dx

Desplazamientos relativos “ ” y totales “ ” por fuerza cortante en un suelo estratificado continuo de extensión semi-infinita no uniforme y profundidad finita:

V (z) dx  dz G ( z ) A( z )

Desplazamientos relativos “

dx

V (z) dz 0 G(z) A(z) z

;

x(z)  

” y totales “

x (z ) ”

(Ec.18)

por fuerza cortante en un suelo

estratificado continuo de extensión semi-infinita uniforme ( Ai  1 ) y profundidad finita “H”:

V ( z) dz dx  G( z )(1)

;

x( z)  

z

0

V ( z) dz G( z)(1)

(Ec.19)

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DEDUCCION DEL FACTOR DE CALIBRACION “” DE LA FORMULA PARA CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACION DE UN ESTRATO DE SUELO HOMOGÉNEO DE EXTENSION SEMI-INFINITA Y PROFUNDIDAD FINITA “H” Calculo del período fundamental del suelo para un estrato homogéneo por la formula de AGH-2010. Para obtener el resultado cuasi exacto se aplicara el método de la integral para un medio continuo homogéneo el cual tiene una solución analítica como a continuación se indica. El factor de calibración de las formulas para el período y la frecuencia fundamentales del suelo se calcula como la relación de la solución exacta para un medio continuo homogéneo entre la solución aproximada:



x( z) 

0



x( z) 

 

2  Ts  g

0

H

0

z

V (z) dz G ( z )( 1)

 o (H  z) Go

0

o

x( z ) 

H

z

Go

( Hz 

x 2 ( z ) dz x ( z ) dz



dz

1 2 z ) 2 2  H g

2 5



o

Go

 (solución aproximada) = (solución exacta)   = (solución exacta) /(solución aproximada)

2  H g



2 5

o

Go



4H g



o

Go

(Ec.20)

Factor de calibración de la formula para el calculo del período fundamental del suelo:





10



 1 . 0066

10

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE UN SUELO REAL ESTRATIFICADO CALIBRADO CON EL FACTOR DE CORRECCION “” VIGA DE CORTANTE ESTRATIFICADA MODELO DISCRETO

Para efectuar él cálculo de este período con un modelo discreto se procede igual que en el caso anterior utilizando el concepto de rigidez de cortante. El método de solución aproximado es el del cociente de Rayleigh. Calibrando las ecuaciones anteriores para "" y "Ts " se obtiene:

n



1



g   i xi  H i 0

n

  x H 2 i i

(Ec.21)

i

0

n

Ts

2   g



 i x i2  H

i



 i xi H

i

0 n

(Ec.22)

0



10



(factor de calibración de las formulas para la frecuencia y el período fundamental del suelo)

Estas dos ecuaciones integran el modelo matemático propuesto para el cálculo del período fundamental de vibración del suelo estratificado considerando efectos de amplificación o atenuación dinámica. Este caso es el que se aplica generalmente al suelo blando de un valle aluvial aproximadamente plano como el de la Ciudad de México. Las integrales contenidas en la formula de “ Ts ” también se pueden calcular por métodos numéricos como el de los trapecios, etc. Utilizando un programa de computadora para efectuar el cálculo. Cabe enfatizar que el valor del parámetro “ Ts ” es muy sensible a la forma de variación de las propiedades geométricas y físicas del suelo con la profundidad “z” de los estratos modelados.

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CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE UN SUELO REAL ESTRATIFICADO CALIBRADO CON EL FACTOR DE CORRECCION “” VIGA DE CORTANTE ESTRATIFICADA MODELO CONTINUO

Este caso de un modelo continuo es la mejor aproximación practica que se puede obtener mediante un modelo unidimensional de tipo elástico lineal para el calculo del período y la frecuencia fundamentales de suelos estratificados con el método de Rayleigh. Para efectuar él cálculo de este período con un modelo continuo se procede igual que en el caso anterior utilizando el concepto de rigidez de cortante. El método de solución aproximado es el del cociente de Rayleigh. Calibrando las ecuaciones anteriores para "" y "Ts " se obtiene:

H



1



g   ( z ) x ( z ) dz



0 H

0

por lo tanto:

2 Ts  g

 ( z ) x 2 ( z ) dz

H

  0

H

0



10



(Ec.23)

 ( z ) x 2 ( z ) dz  ( z ) x ( z ) dz

(Ec.24)

(factor de calibración de las formulas para la frecuencia y el período fundamental del suelo)

Este modelo puede considerarse como casi exacto, por el rango de aproximación de sus resultados al compararse con los de modelos más complejos, elaborados con el método de elemento finito en 1D, 2D y 3D para una relación de forma L/H≥20 en los modelos de elemento finito se logra una convergencia entre los resultados de los modelos muy satisfactoria para fines de diseño sísmico, con diferencias menores del 10 %. Para relaciones L/H≥100 se obtienen resultados prácticamente exactos. (ver tablas I y II) También se efectuó la comparación entre los resultados del modelo y algunos resultados experimentales, observando que sus diferencias fueron inferiores al 10% . Es necesario realizar un trabajo más amplio en esta línea de investigación.

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural MODELOS DE SUELO HMOGENEO CON EL METODO DE ELEMENTO FINITO DE 1D, 2D Y 3D

Propiedades geométricas y físicas del suelo: Relación de forma: L / H = 20

H = 30 m.  =1.2 t/m3 , G = 400 t/m2, μ = 0.25

Período fundamental exacto teórico: Ts = 2.098 seg.

PERIODO FUNDAMENTAL POR EL METODO DE ELEMENTO FINITO “Ts” (STAAD.Pro)

Ts = 2.094 seg.

Ts = 2.126 seg.

Ts = 2.155 seg.

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AMORTIGUAMIENTO EN SUELOS

El porcentaje de amortiguamiento del valor critico considerando comportamiento viscoso de forma aproximada en suelos depende de muchas variables y de cada tipo de suelo lo cual requiere de un estudio especial. En este estudio solo se indica que el valor que alcanza este factor de amortiguamiento, esta entre un 5% y 30% del valor critico para la mayoría de tipos de suelos. El calculo de este factor de amortiguamiento se puede efectuar en primera aproximación como se indica:

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO APROXIMADO PARA SUELOS ESTRATIFICADOS

1 1

2

donde

0.05    0.30

PARAMETROS DINAMICOS DEL SUELO PARA DISEÑO SISMICO

Período amortiguado del suelo:

 1 T sa  T s   1 

2

   

(Ec.25)

1 Tsa

Frecuencia amortiguada del suelo:

f sa 

frecuencia circular amortiguada:

 sa 

Período de vibración libre del suelo:

Ts

2 T sa

Es importante mencionar que el efecto que genera el amortiguamiento en el período fundamental es un incremento en su valor, el cual se debe de considerar en los cálculos para diseño sísmico. El incremento en el valor del período fundamental generado por el amortiguamiento varia del 1% al 9%, aproximadamente.

COMPORTAMIENTO NO LINEAL EN SUELOS

El comportamiento no lineal de los suelos depende de muchas variables y de cada tipo de suelo lo cual requiere de un estudio especial el cual no se ha terminado de forma cuantitativa concluyente por la complejidad y extensión del tema el cual continua abierto a la investigación. Cabe decir aquí que el efecto del comportamiento no lineal del suelo también genera un incremento adicional al valor del período fundamental, el cual varia en la mayoría de los casos prácticos entre el 1 % y el 25 %, como lo consigna la literatura técnica especializada en ingeniería sísmica.

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural COMENTARIOS Y CONCLUSIONES

1.-En la ingeniería practica existen modelos matemáticos deducidos con base en hipótesis simplificadoras amplias las cuales generan modelos convencionales ya que no es una fiel representación matemática del sistema que pretenden modelar, sin embargo los resultados obtenidos y frecuentemente calibrados con la experimentación son lo suficientemente buenos para fines de las aplicaciones practicas de la ingeniería. Este es el caso de los modelos matemáticos sustentados en la teoría de la elasticidad lineal y aplicados a la dinámica de suelos. 2.-La experiencia indica que el período fundamental de vibración del suelo para cada sitio depende fuertemente de la estratigrafía local y de sus propiedades morfológicas y dinámicas. El valor de este parámetro es muy sensible a las variaciones de las propiedades citadas. En suelos reales, el valor de “Ts” se ubica en el intervalo Ta < Ts < Tb del espectro de diseño sísmico de sitio. 3.-Del inciso “2” se deriva la necesidad de conocer con precisión el valor del período fundamental del suelo ya que de este depende el comportamiento dinámico del sistema suelo estructura. Este modelo permite reducir la magnitud del intervalo (Ta,Tb) en el espectro de diseño sísmico de sitio. 4.-El modelo propuesto estima el efecto de amplificación o de atenuación dinámica de acciones generado por la estratificación del suelo a través de la variación de sus propiedades en función de la profundidad ”z” y considerando la forma del primer modo. 5.-El modelo propuesto se resolvió de forma cerrada con el método de Rayleigh. La solución teóricamente exacta para cada caso se puede obtener usando la elástica dinámica teórica y en función de ella se puede valuar la energía cinética “ Ec ” del sistema. Si la elástica es solo parecida se logra una buena aproximación. Por tener una solución cerrada, se facilita el análisis del sistema de suelo - estructura. 6.-El amortiguamiento aparente del suelo no es bajo por lo que se debe de considerar explícitamente para la calibración del modelo, usando espectros de sismos reales en sitios conocidos. Para diseño se debe de considerar el periodo amortiguado "Tsa " , con una corrección adicional por comportamiento no lineal del suelo. 7.-El modelo propuesto permite efectuar diseño sísmico dinámico considerando la interacción sueloestructura, por diferentes métodos incluyendo el de elemento finito. Así como generar espectros de sitio. 8.-El valor del período fundamental del suelo en un sitio dado es muy sensible a la distribución de propiedades morfológicas y dinámicas del suelo estratificado por lo que un calculo basado en un estudio completo de mecánica de suelos es lo recomendable. Los parámetros dinámicos deben de estar calibrados con la velocidad de ondas “S”, medidas experimentalmente: v s  760 m / seg  H max (lecho de rocaUBC/1997). Es conveniente obtener valores de "Ts " mediante pruebas dinámicas de sitio para cerrar la correlación entre los diferentes valores obtenidos. 9.-El modelo propuesto se ha verificado con resultados empíricos y con resultados de modelos, elaborados por los métodos de elemento finito en 1D, 2D y 3D así como con el método de AGH-2000 obteniendo resultados muy similares, lo cual confirma la buena capacidad del modelo propuesto (ver tablas I y II). El modelo clásico, presenta errores mayores en suelos estratificados, con contrastes fuertes y no modela los efectos de amplificación o atenuación dinámica.(ver tabla II) 10.-El modelo clásico de LZ que no modela de forma correcta actualmente ya se cancelo en los principales reglamentos y manuales de diseño sísmico de México y se rectifico como sucedió en E.U.A. con un modelo similar que lo proponía, la S.E.A.O.C.-1974 y el U.B.C.-1976. 11.-Es importante efectuar trabajo experimental y documental que permita identificar la precisión del modelo y su correcta calibración en función del amortiguamiento aparente, para diferentes tipos de suelos y del comportamiento no lineal.

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TABLA Y GRAFICA I

TABLA Y GRAFICA QUE MUESTRA LA CONVERGENCIA DEL METODO DE ELEMENTO FINITO EN 2D RESPECTO A “ Ts ” CUANDO L / H  

L

H

Propiedades del suelo: H=30 m. p=1.2 t/m3 G=400 t/m2 μ=0.25

SUELO

lim Ts  2.098 seg. (Este valor es el exacto conforme: Ts=4H/vs ) L/H  

L/H 20.00 16.66 13.33 10.00 6.66 3.33 1.330

Ts

3.000

Ts 2.126 2.132 2.142 2.157 2.188 2.279 2.670

Error % 1.33 1.62 2.10 2.81 4.29 8.63 27.27

2.670 2.279

2.188

2.157

2.142

2.132

2.126

2.000

1.000

0.000 0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

L/H EL “M.E.F.” PARA UNA RELACION DE: L/H=100, CONVERGE A “Ts= 2.098 seg.” CON e= 0.00 %

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural TABLA II

CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE SUELOS ESTRATIFICADOS POR CINCO METODOS

1

2 3 4 5 n=30 M.E.F.- 2D M.E.F.- 1D Ts=Ti L/H=20 L/H=20, n=6 AGH-2010 AGH -2000 CLASICO-LZ

n=3

Estratos H3 H2 H1 H3 H2 H1 H3 H2 H1 H3 H2 H1 H3 H2 H1

Suelo I I I II II II I II III III II I II I III

2.098

2.098

2.126

2.094

2.126

0.766

0.766

0.776

0.765

0.776

0.781

1.043 No modela

0.752

0.744

0.770

2.223

1.043 No modela

2.061

2.044

2.061

1.561

1.043 No modela

1.468

1.562

1.471

Para un suelo homogéneo: Ts = 4H / vs Propiedades dinámicas de los suelos

Suelos Tipo I II III

 ton/m3 1.2 1.6 1.9

G ton/m2 400 4000 40000

μ 0.25 0.25 0.25

L H1=H2=H3=10 m.

H3 H

H2

Suelo

H=H1+H2+H3=30 m. METODOS DE CALCULO

H1 Roca

1.- MODELO AGH-2000 2.- MODELO CLÁSICO – Ts=Ti 3.- ELEMENTO FINITO – 2D 4.- ELEMENTO FINITO – 1D 5.- MODELO AGH-2010 17

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León, Gto. 2010.

ANEXO I MODELO MATEMATICO PARA EL CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACION EN SUELOS ESTRATIFICADOS (AGH- 2000), ECUACIÓN A-7 DE LAS NTC DE SISMO

En las normas técnicas 2004 para diseño por sismo del RCDF el criterio de calculo del periodo dominante “Ts” del terreno en el sitio se encuentra dentro del apéndice normativo ”A” ecuación (A.7), aportada por el autor (AGH- 2000) en el XII-CNIE de la SMIE en noviembre del 2000, en León , Gto. México. Esta formula también es la base para el calculo del periodo dominante “Ts” (Ecuación 1.2) de sitio en el nuevo Manual de Diseño por Sismo de la CFE – 2008, elaborado por IIE.

REDACCIÓN EN LAS NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DE DISEÑO POR SISMO 2004 - RCDF.

El valor de Ts se tomará de la figura A.1 o, cuando la importancia de la estructura lo justifique, se determinará a partir de ensayes y análisis de dinámica de suelos que tengan en cuenta la estratigrafía y las propiedades del subsuelo en el sitio de interés. Para esto último puede recurrirse a la fórmula:

Ts 

4 g

 N di   N        i di ( xi2  xi xi 1  xi21 )    i 1 Gi   i 1

(A.7)

donde x0 = 0 (en la base) y xi (i = 1, 2, ..., N ) está dada por i

d j xi 

j 1 N

d j j 1

Gj (A.8)

Gj

siendo di, Gi y  i el espesor, módulo de rigidez al corte y peso volumétrico del i-ésimo estrato de la formación de suelo, respectivamente. Para la aplicación de este criterio es necesario que la profundidad de exploración del subsuelo, H s 

N

 d i , se efectúe hasta los depósitos firmes profundos en el sitio de interés, i 1

de lo contrario se estará excluyendo la influencia de la deformabilidad del subsuelo que se encuentra por debajo del nivel de exploración alcanzado.

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural ANEXO II

MODELO MATEMATICO PARA EL CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACION EN SUELOS ESTRATIFICADOS (AGH- 2000), ECUACIÓN (1.2) DEL MANUAL DE DISEÑO DE OBRAS CIVILES PARA DISEÑO POR SISMO DE LA CFE - 2008

La formula aportada por el autor (AGH- 2000) en el XII-CNIE de la SMIE en noviembre del 2000, en León , Gto. México. también es la base para el calculo del periodo dominante “Ts” (Ecuación 1.2) de sitio en el nuevo Manual de Diseño por Sismo de la CFE – 2008, elaborado por IIE.

REDACCIÓN EN EL MANUAL DE DISEÑO POR SISMO DE CFE – 2008

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XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural

León, Gto. 2010.

BIBLIOGRFIA

Alejandro Gómez H.- (2000)- Presentación de un modelo matemático para el calculo del período fundamental de vibración en suelos estratificados con capacidad de predecir efectos de amplificación o atenuación dinámica, XII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural de la SMIE, A.C. – Nov./2000, Leon, Gto., México. Alejandro Gómez H.- (2002)- Presentación de un nuevo modelo matemático para calculo del período fundamental de vibración de estructuras de edificios, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural de la SMIE, A.C. – Nov./2002, Puebla, Pue., México. Alejandro Gómez H.- (2004)- Presentación de un modelo matemático para calculo de los efectos de interacción suelo - estructura en edificios, XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural de la SMIE, A.C. – Nov./2004, Acapulco, Gro., México. Normas Técnicas para Diseño por Sismo del R.C.D.F. – 2004. Manual de diseño de obras civiles - Diseño por Sismo de CFE – IIE – 2008. Timoshenko, S. P. , Young, D. H. - (1974) - Vibration Problems in Engineering, John Wiley & Sons. Thomson, W. T. – (1981) – Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall. Clough, R. W. , Penzien, J. – (1975) – Dynamics of Structures, McGraw – Hill. Newmark, N. M. , Rosenblueth, E. – (1971) – Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall. Leonardo Zeevaert. -(1973) – Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand. Reinhold.

AGRADECIMIENTOS

Se le agradece y reconoce su actitud abierta, imparcial y profesional al Comité de Ingeniería Sísmica del I.I. de la U.N.A.M. para la elaboración de las N.T.C. para diseño por Sismo del R.C.D.F. – 2004, por su apoyo en beneficio de la Ingeniería Sísmica Mexicana y de la Sociedad en General al incorporar oportunamente los avances técnicos de vanguardia a las Normas Técnicas Complementarias del R.C.D.F. En especial a los Doctores: Roberto Meli, Luis Esteva Maraboto, Mario Ordaz y Javier Avilés. También se agradece el apoyo y valiosos comentarios del M.I. Carlos Javier Mendoza E., Dr.I. David Muriá, Dr.I. Francisco Sánchez Sesma, Dr.I. Alberto López López, M.C. Alejandro Barrios T., Dr.I. Luis Eduardo Pérez Rocha, Dr.I. Ulises Mena Hernández, Ing. Manuel Moran G. y del Ing. Santiago Loera Pizarro. Finalmente se le agradece de forma muy especial su apoyo y atención al Dr.I. Sergio Alcocer.

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