SEPTIEMBRE 2001 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A Ejercicio 1. ( Puntuación máxima: 3 puntos) Sean las matrices

 4 − 3 − 3   A =  5 − 4 − 4  −1 1 0  

 3 2 −1   B = 1 1 1   1 0 − 3  

(a) Determínese si A y B son invertibles y, en su caso, calcúlese la matriz inversa. (b) Resuélvase la ecuación matricial X A − B = 2·I, siendo I la matriz identidad de orden tres. (c) Calcúlese A86. Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa, es que su determinante sea distinto de cero 4 −3 −3

∃ A −1

A = 5 − 4 − 4 = 1 ≠ 0. −1 1 0

A −1 =

3 2

(adj A ) A

−1

B = 1 1 1 = 0. 1 0 −3 b.

t

=

 −4 +  1  −3 −  1  −3 +  −4 

−4 0 −3 0 −3 −4

−

−4

5

−1 0 4 −3 + −1 0 4 −3 − 5 −4

+

5

−1 4 − −1 4 + 5

−4  1  −3   1  −3   − 4 

t

1

t

4 1  4 4 −3 0      =  − 3 − 3 − 1 =  4 − 3 1   0  1 − 1 − 1 1 − 1   

No ∃ B −1

X A − B = 2·I : X A = 2I + B : X AA−1 = (2I + B) A−1

X = (2I + B) A−1   1 0 0   3 2 − 1   4 − 3 0   5 2 − 1  4 − 3 0   27 − 20 3               X = 2 ⋅  0 1 0  +  1 1 1  ⋅  4 − 3 1  =  1 3 1  ⋅  4 − 3 1  =  17 − 13 2    0 0 1   1 0 − 3   1 − 1 − 1  1 0 − 1  1 − 1 − 1  3 − 2 1   

c.

 4 − 3 − 3  4 − 3 − 3  4 − 3 0        A 2 = A ⋅ A =  5 − 4 − 4 ⋅ 5 − 4 − 4 =  4 − 3 1   −1 1 0   − 1 1 0   1 − 1 − 1 

1

 4 − 3 0   4 − 3 − 3 1 0 0       A = A ⋅ A =  4 − 3 1  ⋅ 5 − 4 − 4 = 0 1 0  1 − 1 − 1  − 1 1 0   0 0 1     Las potencias de la matriz A se repiten en un ciclo de tres. Teniendo en cuenta que 86 = 3 × 28 + 2: 4 −3 0    28 A 86 = A 3×28+ 2 = A 3×28 ⋅ A 2 = A 3 ⋅ A 2 = I 28 ⋅ A 2 = I ⋅ A 2 = A 2 =  4 − 3 1   1 − 1 − 1   3

2

( )

Ejercicio 2. (Puntuación máxima 3 puntos) Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = −x2 + c (a) Determínense a, b y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (−2, −3) y (1, 0). (b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g(x) en el punto (−2, −3). (c) Calcúlese el área de la región limitada por las gráficas de f(x) y g(x). Solución. a.

Si un punto pertenece a una función, las coordenadas del punto cumplen la expresión de la función. (− 2,−3) ∈ y = f (x ) ⇒ f (− 2) = −3 f (− 2) = (− 2)2 + a (− 2) + b = −3 : (1,0) ∈ y = f (x ) ⇒ f (1) = 0   f (1) = 12 + a·1 + b = 0 − 2a + b = −7  a = 2 ⇒   a + b = −1 b = −3 Para calcular c, basta sustituir solo uno de los puntos. Se escoge el (0, 1) por ser el más sencillo. (1,0) ∈ y = g(x ) ⇒ g(1) = 0

g (1) = −(1)2 + c = 0 : c = 1 f(x) = x2 + 2x − 3, g(x) = −x2 + 1

b.

La ecuación de la recta tangente a una función en un punto se expresa en forma punto pendiente y − yo = m·(x − xo) teniendo en cuenta que el punto es (x o , f ( x o ) ) , y la pendiente m = f ‘(xo) y − f (xo) = f ‘(xo)·(x − xo) aplicado a la función g (x) en el punto (−2, −3): y − g (−2) = f ‘(−2)·(x + 2)

2

donde g (−2) = −(−2)2 +1 = −3 g ‘(x) = −2x : g ‘(−2) = −2· (−2) = 4 sustituyendo y + 3 = 4 (x + 2) ordenando y = 4x + 5

c. Se pide calcular el área encerrada entre dos funciones conocidos los puntos de corte entre ellas, aplicando el cálculo integral

A=

1

∫−2

1

(g( x ) − f ( x )) ⋅ dx = ∫

−2

(− x

2

(

))

+ 1 − x 2 − 2 x − 3 ⋅ dx =

∫ (− 2x 1

−2

2

)

+ 2 x + 4 ⋅ dx = −

 2x 3 + x 2 − 4x  3 

 2 ⋅ (− 2 )3  13 4 2 ⋅1 =− + 12 + 4 ⋅1 −  − + (− 2 )2 + 4 ⋅ (− 2 ) = − = 3 u 2   3 3 3 3   3

3

1

= −2

Ejercicio 3. (Puntuación máxima 2 puntos) El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica 0,6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4 kg. (a) Calcúlese un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza. (b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie en más de 0,3 kg de la media de la población? Solución. a. x ≡ Variable continua que índica el peso de los perros de una determinada raza, sigue una distribución normal N(µ, σ). Tomando muestras de tamaño 30, se genera una nueva variable x , media aritmética del peso de una  σ   . muestra, también es una variable continua que sigue una distribución normal N x  µ, n  El intervalo de confianza para muestras de tamaño n de una variable(media muestral) que sigue una distribución N es:  σ σ   x − Zα ⋅  , x + Zα ⋅   2 2 n n  siendo α el nivel de significación, y 1 − α, el nivel de confianza(0’99) ó la probabilidad de que una cualquiera de las medias de las muestra caiga dentro del intervalo pedido. Aplicando al caso propuesto:  α  0'01  −1 x = 7'4 : σ = 0'6 : Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'9950) = 2'58 : n = 30 2 2 2     sustituyendo en el intervalo  0'6 0'6   7'4 − 2'58 ⋅  = (7'1, 7'7) ,7'4 + 2'58 ⋅ 30 30   El 99% de la medias de muestras de tamaño 30 estarán comprendidas entre 7’1 y 7’7 kg

El tamaño muestral(n) y el máximo error permitido están relacionados, a menor error permitido,  σ   mayor tamaño muestral. El máximo error permitido es el radio del intervalo  Z α ⋅ 2 n  σ ε máx ≥ Z α ⋅ 2 n expresión de la que se puede despejar el tamaño muestral en unción del máximo error permitido b.

2

hay que calcular de nuevo el valor de Z α

 σ   n ≥  Z α ⋅   2 ε máx  ya que se ha variado el nivel de confianza(1 − α = 0’95: α = 0’05) 2

 0'05  −1 Z α = φ −1 1 −  = φ (0'9750) = 1'96 2  2  sustituyendo en el tamaño muestral: 2

0'6   n ≥ 1'96 ⋅  = 15'4 0'3   n ≥ 16

4

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) En un videoclub quedan 8 copias de la película A, 9 de la B y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente y cada uno elige una copia al azar. Calcúlese la probabilidad de que: (a) Los tres escojan la misma película. (b) Dos escojan la película A y el otro la C. Solución. Sucesos:

Ai ≡ Escoge la copia A el cliente i(1, 2, 3) Bi ≡ Escoge la copia B el cliente i(1, 2, 3) Ci ≡ Escoge la copia C el cliente i(1, 2, 3)

a. Los tres escojan la misma película ≡ (A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) ∪ (B1 ∩ B 2 ∩ B 3 ) ∪ (C1 ∩ C 2 ∩ C 3 ) teniendo en cuenta que los sucesos “los tres escogen la película A”, “los tres escogen la película B”, “los tres escogen la película C” son incompatibles, la probabilidad de su unión será la suma de cada una de ellas según:

p[(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) ∪ (B1 ∩ B 2 ∩ B 3 ) ∪ (C1 ∩ C 2 ∩ C 3 )] = = p(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) + p(B1 ∩ B 2 ∩ B 3 ) + p(C1 ∩ C 2 ∩ C 3 ) para resolver la intersección se tiene en cuenta que los sucesos son dependientes:

A  + p(B ) ⋅ p B 2  ⋅ p B 3    ⋅ p A 3 C  C = p(A 1 ) ⋅ p 2      B ∩ B  + p(C1 ) ⋅ p 2 C  ⋅ p 3 C ∩ C  =  1 A A ∩ A B 1 1 2 1 1 2 1 1 2            =

8 7 6 9 8 7 5 4 3 15 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 22 21 20 22 21 20 22 21 20 154

b. Dos escojan A y el otro C ≡ (A 1 ∩ A 2 ∩ C 3 ) ∪ (A 1 ∩ C 2 ∩ A 3 ) ∪ (C1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) se trata de la misma forma que el anterior caso

p[(A 1 ∩ A 2 ∩ C 3 ) ∪ (A 1 ∩ C 2 ∩ A 3 ) ∪ (C1 ∩ A 2 ∩ A 3 )] = = p(A 1 ∩ A 2 ∩ C 3 ) + p(A 1 ∩ C 2 ∩ A 3 ) + p(C1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = C A  + p(A ) ⋅ p C2  ⋅ p A3   A  A = p(A1 ) ⋅ p 2  ⋅ p 3  A   A ∩ B  + p(C1 ) ⋅ p 2 C  ⋅ p 3 C ∩ A  =  1 1  1 C2  1  1 2  A1   A1 ∩ A 2   

=

8 7 5 8 5 7 5 8 7 1 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 22 21 20 22 21 20 22 21 20 11

5

OPCIÓN B Ejercicio 1. ( Puntuación máxima: 3 puntos) Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros. Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas. Solución. Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x ≡ Precio del articulo A y ≡ Precio del articulo B z ≡ Precio del articulo C 1ª Ecuación. Ahorro en la primera oferta: 4 6 5 ⋅x+ ⋅ 2y + ⋅ 3z = 16 100 100 100 2ª Ecuación. Ahorro en la segunda oferta 8 10 6 ⋅ 3x + ⋅y+ ⋅ 5z = 29 100 100 100 3ª Ecuación. Gasto en la compra sin ofertas x + y + z = 135 Multiplicando las dos primera ecuaciones por cien y dividiendo la segunda por dos se obtiene el siguiente sistema: 4x + 12 y + 15z = 1600  12x + 5y + 15z = 1450  x + y + z = 135  Para resolver el sistema se estudia el determinante de la matriz de coeficientes 4 12 15

12 5 15 = 101 ≠ 0 1 1 1 por ser distinto de cero, el sistema es compatible determinado, se resuelve por Cramer. 1600 12 15 4 1600 15 4 12 1600

x=

1450 135

5 1 A

15 1

=

2525 = 25 101

x=

12 1450 15 1 135 1 A

6

=

5050 = 50 101

x=

12 1

5 1 A

1450 135

=

6060 = 60 101

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Sea la función f (x ) = 2x 2 −

1 3 x 3

Calcúlense: (a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. (b) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. (c) El valor de x para el que es máxima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x).

Solución. a. -

La monotonía de una función se estudia en el signo de la primera derivada con el siguiente criterio En los intervalos en los que f ‘(x) sea mayor que cero(positiva), la función será creciente En los intervalos en los que f ‘(x) sea menor que cero(negativa), la función será decreciente.

1 f ( x ) = 2 x 2 − x 3 : f ' ( x ) = 4x − x 2 3 Estudio del signo de f ‘(x) = x · (4 − x) Sobre una recta real se estudian los intervalos generados por los ceros ó raíces de la derivada

teniendo en cuenta el criterio

Sí x ∈ (−∞, 0 ) ∪ (4, + ∞ ) f(x) es decreciente Sí x ∈ (0, 4) f(x) es creciente

b. La condición necesaria y suficiente para que una función tenga un extremo relativo en un punto, es que en dicho punto la primera derivada sea nula y la segunda derivada sea distinta de cero. Para diferenciar entre máximo y mínimo se tiene en cuenta el signo de la segunda derivada con el siguiente criterio: - Sí f ‘’(xo) < 0(negativa) en (xo, f (xo)) la función alcanza un máximo - Sí f ‘’(xo) > 0(positiva) en (xo, f (xo)) la función alcanza un mínimo 1 f ( x ) = 2 x 2 − x 3 : f ' ( x ) = 4x − x 2 : f ' ' ( x ) = 4 − 2 x 3   f (0) = 0 ⇒ En (0, f (0)) = (0,0) la función alcanza un mínimo  x = 0: f ' ' (0) = 4 > 0   f ' ( x ) = 4x − x 2 = 0 : x ⋅ (4 − x ) = 0 :  128   128  x = 4 :  f (4) = ⇒ En (4, f (4)) =  4,  la función alcanza un mínimo 3  3    f ' ' ( 4 ) = − 4 > 0   c. Se pide hallar el máximo de la función que expresa la pendiente de las rectas tangentes a la función, que es la función derivada, por lo tanto se pide hallar el máximo de la de la función derivada. Si para hallar el máximo se deriva la función, los puntos de la función de pendiente máxima serán aquellos que su segunda derivada sea nula y su tercera derivada sea negativa, es decir un punto de inflexión cóncavo-convexo. f ' ' ( x ) = 4 − 2 x = 0 : x = 2 : f ' ' ' ( x ) = −2 < 0

 16  En el punto (2, f (2 )) =  2,  la tangente a la función tiene pendiente máxima  3

7

Ejercicio 3. (Puntuación máxima 2 puntos) En un laboratorio se obtuvieron seis determinaciones del pH de una solución, con los resultados siguientes: 7’91

7’94

7’90

7’93

7’89

7’91

Se supone que la población de todas las determinaciones del pH de la solución tiene una distribución normal de media desconocida con desviación típica igual a 0,02. (a) Determínese un intervalo de confianza al 98% para la media de todas las determinaciones del pH de la misma solución obtenidas con el mismo método. (b) Con el mismo nivel de confianza anterior, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea a lo sumo 0,02? Solución. a. Se pide calcular un intervalo de probabilidad de una variable continua(x = pH), a partir de la media de una muestra de tamaño n = 6. Media de la muestra: x o =

7'91 + 7'94 + 7'90 + 7'93 + 7'89 + 7'91 = 7'91 6

Si la variable x sigue una distribución N(µ, σ), las medias de las muestras de tamaño n = 6 siguen  σ   , y los intervalos de probabilidad a partir de una media muestral son: una distribución N x  µ, n 

 σ σ   x o − Z α ⋅  , x o + Zα ⋅ 2 2 n n  donde Z α es un valor crítico dependiente del nivel de confianza(1 − α). 2

Aplicando al caso propuesto:

 α  0'02  −1 x = 7'91 : σ = 0'02 : Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'9900) = 2'33 : 2  2  2  sustituyendo en el intervalo  0'02 0'02   7'91 − 2'33 ⋅  = (7'89, 7'93) ,7'91 + 2'33 ⋅ 6 6   La amplitud del intervalo es el máximo error permitido, y este es: σ ε máx ≥ Z α ⋅ 2 n expresión de la que se puede despejar el tamaño muestral en unción del máximo error permitido b.

 σ n ≥  Z α ⋅  2 ε máx

   

2

sustituyendo en el tamaño muestral: 2

0'02   n ≥  2'33 ⋅  = 5'4 ⇒ n ≥ 6 0'02   Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)

8

n=6

Con el objetivo de recaudar fondos para un viaje, los alumnos de un instituto realizan una rifa con 500 números. Un alumno compra dos números. (a) Si sólo hay un premio, ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque a él? (b) Si hay dos premios, ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque al menos uno de ellos? Solución. Suceso: Ai ≡ Le toca el premio i a.

p(A ) =

Casos favorables 2 = Casos posibles 500

b. La probabilidad de que le toque al menos uno de los premios, es el caso contrario de que no le toque ninguno.  = 1 − 498 ⋅ 497 = 8 × 10 −3 p(A 1 ∪ A 2 ) = p A 1 ∩ A 2 = 1 − p(A 1 ∩ A 2 ) = 1 − p(A 1 )⋅ p A 2 A1   500 499

(

)

p (A1∪A2) = 0’3 %

9