UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Razonamiento y Resolución de Problemas Unidad 1 Escuela de Producción, Tecnología y Medio ambiente
Razonamiento y Resolución de Problemas DE QUÉ SE TRATA ESTO… Una nena se dirige a su papá que es profesor de matemática y le dice: N: ¿Vamos a jugar? P: No, ahora no, estoy trabajando N: ¡Dale! P: Ahora no, estoy escribiendo un problema N: ¿Si?, ¿qué problema? P: Mirá: “Una niña compra unas chucherías en un kiosco. Para pagarlas da 5$ y le devuelven 2$. ¿Cuánto gastó?” N: (protestando) ¡Eso no es un problema! P: Sí, lo es. Mirá: el problema es cuánto ha gastado N: (sin dudar) Si, tres pesos. P: Pues eso es lo que pregunta el problema N: (insistiendo) Pero… ¿qué problema tiene la niña si tiene suficiente dinero para pagar? En este curso vamos a hacer varias cosas: Vamos a repasar algunos conceptos de la escuela secundaria, hacer ejercicios, esto es, aplicar algunas técnicas que facilitarán el estudio de la matemática que vas a estudiar a lo largo de la carrera y también para otras disciplinas. Y también vamos a resolver algunos problemas, donde el objetivo es ponernos a pensar en cómo encontrar una solución con las herramientas que tenemos. El proceso será equivalente a: abrir la caja de herramientas, aprender cómo se usan el destornillador, la pinza y el martillo, y luego, cuando tengamos claro eso, tomaremos algunas situaciones a resolver y elegiremos dentro de nuestra caja de herramientas, cuál es la más adecuada o al menos cuál nos sirve para resolver el problema. En el curso vamos a desarrollar tres unidades temáticas, que se conectan y se mezclan, es decir, la línea de trabajo no seguirá un trayecto lineal a través de esta lista, sino que iremos saltando, avanzando y retrocediendo, hasta completar el panorama. Los temas que vamos a trabajar son: Conjuntos: La necesidad del rigor, la formalización y la abstracción en matemática. Nociones básicas de lógica proposicional. Valores de verdad. Conectivos. Lógica y conjuntos. Operaciones básicas con proposiciones y conjuntos. Cuantificadores. Conjuntos numéricos. Operaciones y propiedades. Aplicaciones. Valor absoluto. Intervalos, cotas. Relaciones y Funciones: Relaciones. Relaciones de orden. Concepto de función. Dominio. Rango. Lectura, interpretación y construcción de gráficos. Corrimiento de funciones. Composición de funciones. Funciones biyectivas. Función inversa. Funciones pares e impares. Función lineal y cuadrática: generalidades. Intersecciones con los ejes. Ecuación de la recta, recta que pasa por dos Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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puntos, pendiente, paralelismo y perpendicularidad. Resolución analítica y gráfica de sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Ecuación de la parábola: formas general y canónica. Intersecciones entre curvas. Ecuaciones lineales y cuadráticas. Comparación de funciones. Desigualdades. Función Valor absoluto. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Polinomios: Operaciones. Factorización. Regla de Ruffini. Algunas pistas para resolver un problema Aprender matemática significa poder usar las herramientas que ésta ciencia formal brinda, para resolver problemas. Aplicar una técnica, realizar un cálculo, repetir un razonamiento, requieren de entrenamiento. Resolver problemas, requiere poner en funcionamiento otros mecanismos, que se podrían resumir en “pensar”. A lo largo de este curso vamos a trabajar con la resolución de algunos problemas, aplicando las herramientas y técnicas que iremos incorporando en el desarrollo de las clases. Vamos a incluir en cada práctico una lista de problemas. Acá te ponemos unas pistas que te pueden servir en lo que nosotros llamamos el “quehacer matemático”. 1. Asegurate de entender la pregunta, identificá cuáles son los datos, cuáles son las preguntas, es decir, qué tenés que hacer y con qué datos contás. 2. Asegurate de haber leído y entendido la teoría. 3. Elaborá un “plan de acción”, es decir, alguna estrategia que te permita orientarte hacia la solución. Nunca un problema tiene una sola forma de ser resuelto. Empezá por graficar, hacer esquemas, definir pasos a seguir, pensar en un problema similar pero más simple, pensar en qué recursos tenés para resolverlo, etc. 4. Poné en acción tu plan y asegurate de que responde a la pregunta que plantea el problema. 5. Una vez que tengas la solución, pensá en una respuesta en términos del problema planteado, analizá la verosimilitud del resultado (¿es posible que me dé esto?, ¿tiene sentido esta respuesta en términos del problema?). 6. ¿No funcionó?. Pensá en qué punto del desarrollo te trabaste 7. ¿Podés sólo?. Si no, pedí ayuda. Están tus compañeros, estamos tus docentes, están los libros... 8. Recién cuando hayas logrado resolver el problema, entendiendo lo que hiciste y siendo capaz de volver a hacerlo, pasá al problema que sigue.
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Lo que vas a trabajar a continuación está tomado del trabajo “Lógica Informal”, de Torres Curth, M, Biscayart, C y Fernández AM (2006), Cuaderno Universitario N° 49, Secretaría de Investigación, Centro Regional Universitario Bariloche Universidad Nacional del Comahue. Proposiciones El lenguaje (cotidiano, científico, de programación u otro) está constituido por expresiones, que son un conjunto de signos (símbolos, palabras, etc.) que poseen un sentido. Por ejemplo, 110011 + 10010 = 1000101 tiene un sentido en el lenguaje binario, más allá de que sea correcto o no. “If x > 4 then x = 5” tiene un sentido en el lenguaje de programación. ¿Cómo estás Roberto?, tiene un sentido en el lenguaje social. Las órdenes, las preguntas, los saludos, las afirmaciones, tienen un sentido en el lenguaje cotidiano. En especial, algunas expresiones afirman o niegan cosas. Estas expresiones o enunciados que afirman o niegan, se llaman proposiciones. Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas Por ejemplo: “8 es un número par”, es una proposición, y es verdadera. “Todas las aves vuelan”, es una proposición, y es falsa. “Existe un alumno de esta universidad menor de 20 años” es una proposición, y es verdadera. “¿Cómo te llamás?” no es una proposición. “¡Bajá el volumen de esa música!” no es una proposición. Lo que hace que una expresión sea una proposición es precisamente la posibilidad (aunque sea teórica) de asignarle un valor de verdad. Por ejemplo “hay vida en otro lugar del universo” o “Dios existe” son proposiciones, ya que pueden ser verdaderas o falsas, aunque demostrar que lo son pueda ser difícil o imposible. Definición: una proposición es una oración o enunciado declarativo carente de ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero nunca las dos cosas simultáneamente. La veracidad o falsedad de un enunciado se llama su valor de verdad. Los términos verdadero o falso se consideran como atributos de una proposición, excluyéndose de ellos toda interpretación filosófica. La estructura matemática es precisamente una construcción basada en el enunciado de proposiciones de las cuales se debe probar su verdad o falsedad. Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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1) Determinar si las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no lo son. Explicar por qué.
El sol es cuadrado.
¿Existe la justicia?
La cuchara sirve para.
Existe la justicia
La mamá sirve postre.
No existe la justicia
Mi bisabuela se peinó con rodete el 16 de julio de 1899.
2 + 5 = 6
2 + 5 = 7
¿Qué hora es?
2 + 5
Las proposiciones a las que hemos hecho referencia hasta ahora se llaman “proposiciones cerradas” en el sentido de que dentro del enunciado de la proposición no aparece ninguna variable, y por consiguiente tiene un valor de verdad definido (son verdaderas o son falsas). Una proposición abierta (también llamada función proposicional) es una expresión que contiene una variable, por lo que no tiene, en principio, un valor de verdad hasta que la variable sea sustituida por un valor determinado, que hace que la expresión se convierta en una proposición cerrada, es decir, adopte a partir de la asignación de un valor fijo a la variable, un valor de verdad. Por ejemplo p: “x es un número par” es una proposición abierta pues su valor de verdad depende del valor que adopte el número x. Por ejemplo, si x adopta el valor 2, esta proposición abierta se transforma en la proposición cerrada “2 es un número par” que es verdadera. Si x adopta el valor 3, la proposición abierta se transforma en la proposición cerrada “3 es un número par” que es falsa. Decimos que un determinado valor para la variable verifica la proposición p cuando la hace verdadera. Las proposiciones y los conjuntos Dado un conjunto referencial cualquiera U, una proposición abierta p definirá un subconjunto (eventualmente vacío) de elementos que hacen a la proposición verdadera y otro subconjunto (complemento del anterior) de elementos que hacen a la proposición falsa. Es decir, podemos diferenciar los elementos de U en dos conjuntos disjuntos, uno formado por los elementos que verifican a p y otro por los que no la verifican.
U A
elementos que no verifican p elementos que verifican p
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Por ejemplo, si U tiene por elementos los meses del año y p es la proposición abierta “el mes x tiene 30 días”, podemos distinguir dentro de U un subconjunto de elementos que hacen verdadera a la proposición p (abril, junio, septiembre y noviembre) y un subconjunto de elementos que hacen falsa a la proposición p (enero, febrero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre). En caso de que se trate de dos proposiciones abiertas p y q cada una de ellas definirá dentro del referencial un subconjunto de elementos que la verifica, definiéndose así cuatro regiones. IV: elementos que no verifican ni p ni q
U
IV A
B II
I
III
II: elementos que verifican sólo p
I: elementos que verifican tanto p como q
III: elementos que verifican sólo q
Las regiones I y II reúnen a todos los elementos que verifican p y las regiones I y III a todos los que verifican q. En adelante usaremos la notación p, q, ... etc. para referirnos indistintamente a proposiciones abiertas o cerradas, quedando claro su significado en el contexto. Las proposiciones pueden separarse en simples y compuestas. Las proposiciones simples son aquellas que no tienen ninguna otra proposición como parte constituyente, como por ejemplo “llueve”, o “5 es un número primo”. Las proposiciones compuestas son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples, como por ejemplo “hace calor y tengo ganas de ir a la playa”, o “tengo hambre, frío y no consigo un taxi”, o “si un número es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6”. Cuantificadores Veamos ahora un tipo particular de proposiciones que se llaman categóricas. Son aquellas en las que está involucrada una referencia a la totalidad de los elementos de un conjunto (por ejemplo “todas las plantas realizan fotosíntesis”) o a una parte de los elemento de un conjunto (por ejemplo “existen metales líquidos”). En el lenguaje común, hay varias expresiones que se utilizan indistintamente para la misma forma lógica. Por ejemplo: Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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Usamos las palabras: • Todo • Ninguno • Cualquiera
Por ejemplo: • Todos los insectos alados tienen 6 patas Para referirnos • Ningún lugar está lejos a TODO • Cualquier múltiplo de 6 puede dividirse por 3
• No hay
• No hay mamíferos acuáticos
• Nadie
• Nadie es perfecto
• Los / Las
• Las cámaras digitales utilizan baterías
Usamos las palabras: • Existe • Un / unos • Alguno o algunos
Por ejemplo: Para referirnos • Existen hombres daltónicos a que EXISTE al • Unos pancitos tienen queso menos uno • Algunos mamíferos tienen alas
• Hay
• Hay algunos sitios de acampe donde no se puede hacer fuego
Redactar las proposiciones del cuadro en la forma “Todo...” o “Existe...”. Por ejemplo: “Algunos mamíferos tienen alas” se escribirá como “Existe un mamífero que tiene alas” En resumen: En el lenguaje matemático, la palabra “todo” (o sus equivalentes) en una proposición indica que cualquier elemento que se elija dentro del conjunto posee la propiedad. El símbolo que se utiliza para “todo” es ∀ (se lee “para todo”). En el lenguaje matemático, la palabra “existe” (o sus equivalentes) en una proposición indica que hay dentro del conjunto al menos un elemento que posee la propiedad. Puede ser uno, varios, o incluso todos. El símbolo que se utiliza para “existe” es ∃ (se lee “existe”). Las expresiones todo y existe se denominan cuantificadores. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todos los números pares positivos menores o iguales que 20: A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} Todo elemento del conjunto A es par( en símbolos: ∀ x ∈ A, x es par) Existe (al menos) un elemento dentro de A que es múltiplo de 6 (∃ x ∈ A tal que x es múltiplo de 6) La utilización de los cuantificadores siempre está asociada a un conjunto de referencia y se refiere a una propiedad que cumplen (o no) los elementos de ese conjunto. Y es justamente en relación a los elementos de ese conjunto de referencia que la afirmación puede ser verdadera o falsa. Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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2. Dadas las siguientes proposiciones,
Todos los perros son blancos.
Hay mamíferos que vuelan.
Existe un león que ruge
Los leones tienen melena
Hay gallinas que ponen huevos verdes
Ningún metal es líquido
Hay plantas que no se reproducen por semillas
identificar un conjunto de referencia para cada uno y redactar las proposiciones anteriores de la forma “Todo...” o “Existe...” Ejemplo: Todos los perros son blancos → Conjunto de referencia: El conjunto de todos los perros que existen. Enunciado en la forma “ Todo…” → Todo perro es blanco. (¡no es importante si las afirmaciones son verdaderas o falsas!) 3. Proponer algunas proposiciones que incluyan cuantificadores y redactarlas en la forma “Todo...” o “Existe...” Cualquier proposición categórica se puede escribir en la forma “Todo...” o “Existe...” Por ejemplo: “Hay mamíferos acuáticos” se escribe como “Existe un mamífero que es acuático”. Los cuantificadores en el lenguaje coloquial Es importante distinguir el uso de la palabra todo del lenguaje común de su uso en el lenguaje matemático. “Todo” en matemática, no significa “muchos”, ni “casi todos”, sino que ningún elemento del conjunto queda excluido de la propiedad. En el lenguaje común muchas veces se usa la expresión “todo” sin el rigor de precisión que requiere la matemática. Por ejemplo, “todo el mundo sabe que tomar sol sin protector solar es peligroso”. ¿Estamos seguros que no hay sobre el planeta un ser que ignore esta premisa?. Otro ejemplo cotidiano: “¿qué querés comer?”, “cualquier cosa está bien”. ¿Estamos seguros?, ¿cualquier cosa? ¡puaj!. Es decir, en matemática para que una afirmación que contenga la palabra todo sea verdadera, la totalidad de los elementos del conjunto al que hace referencia la afirmación deben cumplir la propiedad, lo cual no es necesariamente cierto en el lenguaje común. El todo en matemática, tiene un sentido absoluto. Por ejemplo, “los ángulos interiores de todos los triángulos suman 180º” hace referencia a que cualquier triángulo, por más raro que sea, tiene la propiedad. En el lenguaje Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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común esto no es así. La mayoría de las veces la una afirmación que contiene la palabra todo se refiere a que en la mayoría de los elementos del conjunto al que se hace referencia tienen la propiedad. En el lenguaje común “todo” se usa muchas veces como equivalente de “muchos” o “casi todos”, o “la mayoría”. Por ejemplo la afirmación “en mi familia todos los 29 almorzamos ñoquis” se refiere a que en la medida de lo posible, esa familia come ñoquis los 29, casi siempre lo hacen, pero nada ocurre en esta afirmación si justo un 29 de enero son invitados a la casa de los vecinos a almorzar un asado. En el mismo asado, la señora invitada podría decir “en mi familia todos los 29 almorzamos ñoquis” como un comentario (falso desde el punto de vista matemático) y nadie pensará que está diciendo una falsedad. Si al asado está invitado un matemático, la misma afirmación “nadie pensará que está diciendo una falsedad”, que habíamos entendido como una generalidad, sería falsa porque el matemático (que no puede con su genio) estaría pensando: “el hecho de que esta señora esté masticando un choripán demuestra que la afirmación en mi familia todos los 29 almorzamos ñoquis es falsa”. Asimismo, en matemática la afirmación existe hace referencia a que hay al menos un elemento en el conjunto que cumple la propiedad. Puede ser uno, varios o incluso todos. En el lenguaje común “existe” se usa como equivalente de “alguno”, como para señalar una rareza. El valor de verdad de las proposiciones categóricas Como toda proposición, las proposiciones categóricas (las que contienen cuantificadores) poseen un valor de verdad (es decir, puede decirse de ellas que son Verdaderas o Falsas). En algunos casos decir de una proposición que es verdadera o falsa es sencillo. Para la proposición “Llueve”, basta con mirar por la ventana para decidir. ¿Cómo podemos demostrar que una afirmación que tiene un cuantificador es verdadera o falsa? Por ejemplo: La afirmación “Todo los perros son blancos” es falsa. ¿cómo lo sabemos? Basta con mostrar un perro que no sea blanco. La afirmación “Todo número múltiplo de 6 es par” es verdadera. Para mostrar que esto es cierto, dado que no hay posibilidades de revisar uno por uno todos los múltiplos de 6, hay que recurrir a una demostración general, a un razonamiento deductivo que nos permita evidenciar que la afirmación es cierta. En este caso es sencillo, porque para que un número sea múltiplo de 6, debe ser a la vez múltiplo de 3 y de 2. Al ser múltiplo de 2 es par. Por lo tanto la afirmación es cierta para cualquier múltiplo de 6. 4. Explicar cómo demostrarías si las afirmaciones del inciso 5) son verdaderas o falsas. Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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Una breve digresión acerca de la verdad en las ciencias La división más aceptada entre las ciencias es la de ciencias fácticas y ciencias formales. Las ciencias fácticas trabajan con objetos reales que ocupan un espacio y un tiempo que a su vez se subdividen en naturales (biología, física, química, etc. ) y sociales (sociología, economía, psicología, etc.). Las formales trabajan con formas, es decir, con objetos ideales que son creados por el hombre, que existen en su mente y son obtenidos por abstracción. La lógica y la matemática son ciencias formales. La verdad de las ciencias fácticas es fáctica porque depende de hechos, y es provisoria porque nuevas investigaciones pueden presentar elementos para su refutación. Las ciencias formales demuestran o prueban. En la matemática y en la lógica hay verdades absolutas: axiomas o teoremas. Los axiomas son verdades a priori y los teoremas son verdades que se demuestran por procesos deductivos a partir de axiomas o de teoremas anteriores. La verdad de las ciencias formales es necesaria y formal. La demostración es completa y final. En las ciencias fácticas, las teorías científicas, que pueden considerarse como “verdades” se constituyen como un conjunto de leyes y teorías que son aceptadas como tales mientras no exista una observación o experimentación que permita rechazarlas. En ellas prima un proceso inductivo, de modo que a partir de un cierto número de observaciones o experimentaciones se permite una generalización que se denomina “ley”. En las ciencias formales se demuestran las verdades, mientras que en las ciencias fácticas se verifican (confirman o refutan) hipótesis. Esta verificación es incompleta y temporaria. En matemática y lógica cuando un teorema ha sido demostrado, es una verdad “para siempre”, que será utilizada para sostener las demostraciones de nuevos teoremas que se enuncien con posterioridad. En las otras ciencias, esto no es así. Abundan en la historia de las ciencias ejemplos de teorías que se sostuvieron como verdades hasta que se comprobó su falsedad. Por ejemplo hasta el año 1759 la teoría de la epigénesis avalaba entre otras, la teoría de la preformación. Esta sostenía que las células sexuales contenían individuos diminutos preformados, que sólo necesitaban aumentar de tamaño durante el desarrollo embrionario. En 1759 C.F. Wolff propuso el concepto de que los caracteres del nuevo individuo deben desarrollarse a partir del material indiferenciado del espermatozoide y los óvulos, contrariamente a lo sostenido hasta ese momento. De esta manera la nueva teoría (que refutaba la anterior) sentó las bases de un nuevo enfoque para el estudio del desarrollo, y permitió implicaciones en la teoría evolucionista. Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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Operadores lógicos Consideremos el siguiente conjunto, que llamaremos R, que será nuestro conjunto referencial en varios de los ejercicios que propondremos realizar. Conjunto R
Característica Valor Convención simbólica
Forma
Color
Tamaño
Círculo
c
Triángulo
t
Rectángulo
r
Negro
n
Blanco
b
A rayas
a
Pequeño
p
Grande
g
Indicaremos a los elementos de este conjunto R haciendo referencia al valor que adoptan los tres atributos considerados (forma, color, tamaño). Así por ejemplo (t,n,g) representa el triángulo negro grande. Consideremos además, un tipo de diagramas de circulación que denominaremos red lógica. En las redes lógicas, es posible hacer circular todos los elementos de un conjunto referencial por sus calles, siguiendo las flechas. Hay flechas que se acompañan por carteles indicadores, y otras que son direcciones obligatorias. Los carteles indicadores exigen o prohíben el paso de los elementos del conjunto según tengan o no la propiedad que el cartel indica. Las direcciones obligatorias (como en la circulación del tránsito en las calles) obligan a la circulación en el sentido que indica la flecha. En toda red lógica, los elementos del conjunto de referencia “circulan” respetando las indicaciones de las flechas y los carteles indicadores. Veamos un par de ejemplos:
p
En la figura a la derecha, el cartel indica que todo elemento del conjunto del referencial que haga verdadera la proposición p deberá tomar obligatoriamente el sentido de circulación que indica la flecha hacia arriba en la bifurcación. Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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Los elementos que no cumplan con la propiedad p deberán tomar obligatoriamente el sentido de circulación que indica la flecha hacia abajo en la bifurcación. En la figura de la derecha, hay un cruce de caminos y las flechas indican sólo sentidos de circulación obligatoria. Todos los elementos deberán obligatoriamente “cambiar de carril”. Los que circulen por el camino de arriba, deberán pasar al deabajo y análogamente, los que circulen por el de abajo deberán cambiar al de arriba. Las redes lógicas son un recurso que facilitará la comprensión de varias formas lógicas. Cualquier red lógica tiene dos regiones terminales: una donde queda formado un subconjunto S de piezas del referencial que llamamos región terminal, y la otra, donde queda formado otro subconjunto del referencial que llamamos S , que denominamos región terminal complementaria. Una vez que los elementos de un conjunto han circulado por la red, deberán estar en la región terminal o en la terminal complementaria. 5. S y S ¿pueden tener elementos en común? Explicar por qué. 6. La reunión de los elementos de S y S forma el referencial. Explicar por qué. La negación Consideremos la siguiente red (recordar: a = a rayas)
S
a
S 7. ¿Qué elementos encontraremos en la región terminal S si hacemos circular por esta red los elementos del conjunto referencial R?
Llamemos S1 al conjunto de los elementos que resultan en la terminal S de esta red. Podemos afirmar que: El conjunto S1 está formado por todos los elementos de R que no son ......................... El símbolo de la negación es “∼”. Dada una proposición p, su negación será ∼p
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Por ejemplo: si p es la proposición “la figura es un cuadrado”, ∼p es la proposición “la figura no es un cuadrado” Valor de verdad de la negación El valor de verdad de la negación de una proposición p será opuesto al valor de verdad de la misma. Es decir, si p es Verdadera, entonces ∼p será Falsa, y análogamente, si p es Falsa, entonces ∼p será Verdadera. La negación como relación entre conjuntos: Supongamos que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos del referencial que cumplen con la proposición p. Podemos representar esto utilizando diagramas de Venn. En el gráfico quedan fuera de A todos los
∼p
elementos del conjunto referencial que no
R A p
cumplen con esta propiedad, que se ubican en la zona sombreada. Al conjunto de los elementos del referencial que no pertenecen a A, se lo denomina complemento de A, y se anota A . La negación en el lenguaje coloquial Hay que tener en cuenta que de acuerdo a las normas sintácticas propias del lenguaje ordinario, la negación se expresa de forma distinta a lo que acabamos de ver. Por ejemplo, no decimos “no a las focas les crece el pelo”, sino que decimos “a las focas no les crece el pelo”. Las proposiciones: El sol no es cuadrado
La vaca no es un paquidermo
No llueve
No ocurre que hace frío
No es cierto que la vaca es un paquidermo
No hace frío
y todas aquellas donde una proposición p cualquiera está negada tienen la misma forma lógica ∼p. También ocurre, en el lenguaje coloquial, que la palabra “no” no necesariamente aparece explícita. Por ejemplo, en lugar de decir “este negocio no está abierto”, podemos decir “este
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negocio está cerrado”. En este mismo sentido, notemos que en el ejemplo anterior, para negar la proposición “es a rayas” podemos decir “no es a rayas” o “es blanco o negro”. 8. Discutir las siguientes expresiones del lenguaje usual:
No pasa nada
‐ No tengo ninguno
‐ No hay nadie
¿Se está usando la negación en la forma lógica que vimos? 9. Considerar las siguientes proposiciones y escribir su negación (independientemente de la verdad o falsedad de la afirmación) Proposición: p
Negación: ∼p
• Este triángulo es rojo
......................................................
• Hoy no es lunes
......................................................
• Tengo frío
......................................................
• La nafta súper vale 2$
......................................................
La negación de proposiciones categóricas: MUY IMPORTANTE Un punto de particular importancia es la negación de proposiciones categóricas (las que incluyen cuantificadores). 10. Considerar las siguientes proposiciones y escribir su negación (independientemente de la verdad o falsedad de la afirmación) Proposición: p
Negación: ∼p
• Existen planetas con agua en el sistema solar
• Ningún alumno ingresante a la universidad debe materias de la escuela secundaria. • Todos los egresados de escuelas secundarias del país hacen su viaje de estudios a Bariloche • Hay mamíferos acuáticos • Cualquier miembro de la Asociación Argentina de Ecología tiene descuentos en los congresos de la misma. 11. Dado que toda proposición que posea un cuantificador se puede escribir en la forma “Todo...” o “Existe...” , escribir las proposiciones del cuadro anterior en la forma “Todo...” o “Existe...” según corresponda. Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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¡Muy importante! La negación de una proposición con el cuantificador “todo” es una proposición con el cuantificador “existe” La negación de una proposición con el cuantificador “existe” es una proposición con el cuantificador “todo” Los conectivos Estudiaremos algunas formas lógicas de relacionar proposiciones, que se denominan conectivos lógicos. Los que estudiaremos en las siguientes secciones son la conjunción “y”, la disyunción “o” y la implicación, cuyos respectivos símbolos son “∧”, “∨” e “⇒”. El conectivo “∧” (“y”) Consideremos ahora la siguiente red lógica y el conjunto referencial R antes definido.
g
S
n
S Cada cartel representa una proposición simple (g: la figura es grande, n: la figura es negra). Si para un elemento del referencial la proposición es verdadera, la figura sigue el sentido de circulación propuesto, si es falsa, debe tomar el otro camino. En esta red, una figura negra debe tomar la bifurcación por la calle de arriba, mientras que si no lo es, está obligada a tomar la bifurcación por la calle de abajo. Frente a la segunda bifurcación, la figura podrá continuar su camino por arriba sólo si es grande, y de lo contrario, deberá tomar la bifurcación hacia abajo. 12. La figura (t,n,g) ¿va a S o a S ? ¿y la figura (t,n,p)? 13. ¿Cuántos caminos distintos conducen a la región terminal S? Proponer ejemplos. 14. Enunciar qué condiciones deben reunir los elementos de R para llegar a S.
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15. ¿Cuántos caminos distintos conducen a la región terminal complementaria S ? Proponer ejemplos 16. ¿Por qué no van a la región terminal S todos los triángulos negros? 17. ¿Por qué van a la región terminal S todos los círculos grandes negros? 18. Enunciar qué condiciones deben reunir los elementos de R para llegar a la región terminal complementaria S . 19. ¿Cuáles de los cuadrados negros van a la región terminal complementaria? 20. ¿Hay piezas grandes en la región terminal complementaria? ¿cómo son? Consideremos el conjunto de los elementos que resultan en la terminal S de esta red (que llamaremos S2). Podemos afirmar que: El conjunto S2 está formado por todos los elementos de R que son a la vez ...................... y ......................... “y” es un conectivo lógico que se denomina conjunción y su símbolo es ” ∧ ” Valor de verdad de una conjunción
Una conjunción de dos proposiciones simples es una proposición compuesta y por lo
tanto, es posible asignarle un valor de verdad (es decir, de esta proposición es posible decir si es verdadera o falsa). Para que una afirmación de la forma p ∧ q (donde p y q son dos proposiciones cualesquiera) sea verdadera, deberán cumplirse p y q simultáneamente, es decir deberán ser verdaderas tanto p como q. En todos los otros casos p ∧ q será falsa. La conjunción como una operación entre conjuntos Ahora llamemos: •
A al conjunto de todas las figuras del referencial R que cumplan con la propiedad n: la figura es negra
•
B al conjunto de todas las figuras del referencial que cumplan con la propiedad g: la figura es grande.
Podemos representar gráficamente estos conjuntos mediante un diagrama de Venn:
R
A
B II
I
III IV
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En esta representación R, el conjunto referencial o universo, abarca la totalidad de los elementos que se consideran (en este caso, las 18 figuras del conjunto original). Cada círculo en el gráfico engloba los elementos de los conjuntos A y B. De acuerdo a esta representación, en la región I (sombreada en el gráfico) se encuentran los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a B, es decir aquellos elementos que son parte a la vez de ambos conjuntos y que cumplen simultáneamente las proposiciones n y g. Son los únicos elementos del referencial para los cuales la proposición compuesta n ∧ g es verdadera. Denominamos a esta región la intersección de A y B, y la notamos como A ∩ B. La intersección de dos conjuntos es un subconjunto que contiene los elementos comunes de ambos conjuntos. 21. Cuáles de las figuras de nuestro referencial R debemos ubicar en la intersección de A y B. 22. Enunciar la proposición compuesta que cumplen los elementos de A ∩ B utilizando el conectivo lógico ∧. 23. ¿Qué elementos se encontrarán en la región II? 24. ¿Qué elementos se encontrarán en la región III? 25. ¿Qué elementos se encontrarán en la región IV? 26. Proponer otro par de conjuntos del referencial R y describir las características generales de los elementos que se ubican en cada una de las 4 regiones del diagrama de Venn. Otro ejemplo: si un conjunto reúne a las mujeres argentinas y otro conjunto reúne a los docentes argentinos, encontraremos en la intersección de estos dos conjuntos a las mujeres (esta propiedad se tiene por pertenecer al primer conjunto) docentes (esta propiedad se tiene por pertenecer al segundo conjunto) 27. Proponer un conjunto referencial para estos dos conjuntos 28. Enunciar las proposiciones simples p y q que los elementos de A y B verifican. 29. Hacer un diagrama de Venn para los conjuntos de este ejemplo. 30. Explicar qué elementos se encuentran en las regiones II, III y IV, suponiendo que el referencial sean las personas argentinas.
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El conectivo “∨” A continuación proponemos otra red lógica:
b
S
t
S
Hacer circular todas las piezas del referencial R por estas calles de esta red, siguiendo los nuevos carteles indicadores. 31. ¿Qué camino recorre la figura (t,b,g)?, ¿y (t,a,p)?, ¿y (c,n,g)? 32. ¿Hay piezas blancas en la región terminal?. ¿Cuáles son?. ¿Por qué? Llamemos S3 al conjunto de los elementos que resultan en la terminal S de esta red. Podemos afirmar que: El conjunto S3 está formado por todos los elementos de R que son .................... o ....................... “o” es un conectivo, su símbolo es “ ∨ ” Valor de verdad de una disyunción
Una disyunción de dos proposiciones simples es una proposición compuesta y por lo
tanto, es posible también asignarle un valor de verdad (es decir, de esta proposición es posible decir si es verdadera o falsa). Para que una afirmación de la forma p ∨ q (donde p y q son dos proposiciones cualesquiera) sea verdadera, deberán cumplirse p, q, o ambas, es decir deberán ser verdaderas al menos o p o q. Será falsa sólo si son falsas ambas proposiciones simultáneamente. La disyunción como una operación entre conjuntos Supongamos ahora que: •
A al conjunto de todas las figuras del referencial R que cumplan con la propiedad B: la figura es blanca y
•
B al conjunto de todas las figuras del referencial R que cumplan con la propiedad t: la figura es triángulo.
33. Si representamos gráficamente estos conjuntos mediante un diagrama de Venn (ver figura), ¿qué propiedades que reúnen las figuras que se ubican en las regiones I, II, III y IV? Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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R A
B II
I
III IV
Si sombreamos en el diagrama las regiones donde se ubican las figuras que en la red aparecen en S3, veremos que están ubicadas en las regiones marcadas como I, II y III. A la zona sombreada la denominamos la unión de A y B, que se nota como A ∪ B. La unión de dos conjuntos es la reunión de los elementos comunes y los no comunes de ambos conjuntos. 34. Cuáles de las figuras de nuestro referencial R debemos ubicar en la unión de A y B. 35. Enunciar la propiedad compuesta que cumplen los elementos de A ∪ B utilizando el conectivo lógico ∨. 36. Si una figura no es triángulo pero está en A ∪ B, ¿ qué podemos afirmar de esa figura? El “o” excluyente El caso que hemos analizado, es el que se denomina “o” (o también “o inclusivo”) donde, para que la disyunción sea verdadera, se admite que se cumpla una propiedad, la otra o ambas. Por ejemplo supongamos que decimos “para la fiesta los invitados trajeron algo para tomar o para comer”. Pudo pasar que: José trajo algo para tomar, Pedro trajo algo para comer y Lucía trajo las dos cosas. En los tres casos la afirmación inicial es verdadera. Sólo harán falsa la afirmación (y excluidos de nuestras sonrisas) aquellos invitados que hayan que no hayan traído ni bebida ni comida. Hay otro conectivo, que es el “o excluyente”, en el cual, dadas dos condiciones, para que la disyunción sea verdadera puede darse una o la otra, pero no ambas. Por ejemplo, la proposición compuesta “Carlos vino de Neuquén en auto o en avión” tiene un conectivo “o excluyente” entre las dos proposiciones simples. Si el viaje se concretó en avión estamos dentro de la verdad de la afirmación, si se concretó en auto también. Será falsa si no vino ni en auto ni en avión (si lo hizo en bici o a caballo) y no es posible la opción de que Carlos haya venido en las dos cosas a la vez. La notación simbólica para el “o excluyente” es p ∨ q Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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37. Escribir algunas afirmaciones unidas por el conectivo “o inclusivo” y por el “o excluyente” y analizar en qué casos serán verdaderas. 38. Para el referencial R, considerar las proposiciones: “es triángulo” y “es pequeño”. Idear una red lógica que lleve a la proposición compuesta “es triángulo ∨ es pequeño”. 39. Analizar en la representación gráfica de conjuntos de Venn, qué región quedará sombreada para este caso. 40. ¿Cómo podría expresarse esto utilizando notación conjuntista? En general, y salvo aclaración usaremos el “o inclusivo”. La conjunción y la disyunción en el lenguaje coloquial Vamos a señalar algunos aspectos relativos al uso de la conjunción y la disyunción en el lenguaje coloquial. Como vimos, la conjunción de proposiciones está relacionada con la intersección de conjuntos. Sabemos que los elementos de A ∩ B son los mismos elementos que los de B ∩ A, es decir, la intersección de conjuntos posee la propiedad conmutativa. Por lo tanto, la conjunción p ∧ q y la conjunción q ∧ p son equivalentes. Por ejemplo, en el lenguaje matemático, decir que un número es par y múltiplo de cinco es lo mismo que decir que un número es múltiplo de cinco y par. Ambas conjunciones llevan al subconjunto de números enteros terminados en cero. Sin embargo, en el lenguaje coloquial, el orden en que se expresan las proposiciones muchas veces nos lleva a distintos significados. Por ejemplo, si digo “yo llevo agua caliente y yerba” o si digo “yo llevo yerba y agua caliente”, el significado es el mismo, pero si digo “Iré y lo haré” o “Lo haré e iré”, hay un significado diferente debido a que en estas dos últimas expresiones, aunque tengan la forma p ∧ q se encuentra implícito un orden. 41. Pensar ejemplos del lenguaje común donde la conjunción no cambie de significado con el cambio de orden y ejemplos en los que sí. En cuanto a la disyunción en el lenguaje coloquial, es interesante ver que en la mayoría de los casos su uso se restringe casi exclusivamente al “o excluyente”. Vimos que una afirmación de la forma p ∨ q es verdadera siempre que sea verdadera al menos una de las dos proposiciones, pero en el lenguaje coloquial esto puede sonar hasta ridículo. Por ejemplo, supongamos que te llamás Gabriel. ¿Qué te parecería presentarte del siguiente modo? “me llamo Pedro o Gabriel”. Desde el Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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punto de vista de la estructura lógica de la afirmación, la proposición es verdadera, pero en el lenguaje cotidiano es no querer decir cómo te llamás. 42. En el lenguaje matemático, ¿es correcto decir “3 es menor o igual que 5”? y ¿es correcto decir “5 es menor o igual que 5”? 43. Si a mi pregunta sobre cuándo se marcha, mi amigo me responde “el sábado o el domingo” y después me entero de que ese mismo día tenía en su bolsillo su pasaje para el sábado, ¿qué tengo que pensar de mi amigo? 44. ¿Cómo te suena en el lenguaje ordinario la expresión “5 es mayor que 7 o Bariloche tiene más de 5000 habitantes”? ¿Si se trata de lenguaje matemático te parece que es verdadera o falsa? 45. En una librería aparece escrito “Nuestros clientes en posesión de constancia de alumno regular o empleado de la universidad tendrán derecho al 15% de descuento”. ¿Quiénes obtienen el descuento?. 46. Una nena le pide a su papá que la lleve el domingo a la mañana al parque de diversiones y a la tarde al cine. El padre le dice “No. Saldremos por la tarde e iremos al cine o al parque de diversiones”. ¿Qué pudo hacer la nena el domingo? ¿Tiene este “o” el mismo significado que en el ejercicio anterior? Llamaremos forma proposicional a la expresión simbólica de las proposiciones, simples o compuestas. Las formas proposicionales que resultan de conectar dos proposiciones por los conectivos lógicos “y” y “o” son, respectivamente p ∧ q y p ∨ q. Por ejemplo, la expresión: Malena canta el tango y en cada verso pone su corazón, está compuesta de dos proposiciones: p: “Malena canta el tango” y q: “Malena pone en cada verso su corazón”. Su forma proposicional es: p ∧ q Resumen de las relaciones entre operadores lógicos y conjuntos Llamemos U a un conjunto referencial, A al conjunto de los elementos de U que hacen verdadera la proposición p y B al conjunto de los elementos de U que hacen verdadera la proposición q.
Mónica de Torres Curth /María Laura Halladjián
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p es Verdadera
x ∈ A
U
p es Falsa (∼p es Verdadera) x ∉ A (x ∈ A )
A B A
U
B
A
q es Verdadera
x ∈ B
U
B
A
q es Falsa (∼q es Verdadera) x ∉ B (x ∈ B )
U
B
p ∧ q es Verdadera
A
x ∈ A ∩ B
B
A
p ∧ q es Falsa
U
x ∉ A ∩ B (x ∈ A ∩ B )
U
B
p ∨ q es Verdadera
x ∈ A ∪ B
A
U
B
p ∨ q es Falsa
x ∉ A ∪ B (x ∈ A ∪ B )
A
U
B
47. Completar las dos primeras columnas de la tabla siguiente como en el cuadro resumen
A
B
U
A
U
B
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48. a) Escribir como una disyunción la negación de p ∧ q b) Escribir como una conjunción la negación de p ∨ q c) Cómo pueden escribirse los incisos anteriores en términos de unión e intersección de conjuntos Algunos ejercicios relativos A los conectivos “∧” y “∨” y la negación. 49. Considerar M el conjunto formado por los meses del año. •
Cuál sería la red lógica que agrupa en S a los elementos: {enero, abril, agosto, octubre}?
•
Cuál sería la red lógica que agrupa en S a los elementos: {enero, agosto, octubre}?
50. Considerar el conjunto T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} y las siguientes proposiciones: p es la propiedad “es un número par” q es la propiedad “es un número de una cifra” r es la propiedad “es un número divisible por 3” •
Escribir el enunciado y los conjuntos resultantes para las siguientes situaciones: p ∧ q
p ∨ q
p ∧ q ∧ r
q ∧ ∼r
51. Para cada una de las siguientes expresiones, 1) reconocer las proposiciones que la componen y 2) reconocer los conectivos involucrados escribiéndolas en forma proposicional (teniendo en cuenta que ciertos términos del lenguaje cotidiano, pueden traducirse como conectivos).
Platón y Aristóteles eran filósofos griegos
Yo hablo castellano e inglés
Hace mucho calor pero igual vengo a clase
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