1. Posición relativa de los siguientes planos:  π ≡ x − 3y + z − 3 = 0 i)  π' ≡ 2 x + y − z + 1 = 0

ii) iii)

 π ≡ x − 2y + z − 3 = 0  π' ≡ 2 x − 4 y + 2z − 10 = 0  π ≡ x − 2y + z − 3 = 0  π' ≡ 2x − 4 y + 2z − 6 = 0

Solución. Conocidas las ecuaciones generales de ambos planos, su posición relativa se obtiene comparando los coeficientes de sus ecuaciones. Sean los planos π1≡A1x +B1y + C1z + D1 = 0 y π2≡A2x +B2y + C2z + D2 = 0: A B C - Secantes: 1 ≠ 1 ≠ 1 . Basta con que se cumpla una desigualdad. A 2 B2 C2

A 1 B 1 C1 D1 = = ≠ A 2 B2 C2 D2

-

Paralelos.

-

Coincidentes: i) ii) iii)

i) ii) iii)

A1 B1 C1 D1 = = = A 2 B 2 C2 D2  π ≡ x − 3y + z − 3 = 0 1 3 : ≠ ⇒ Secantes.  π' ≡ 2 x + y − z + 1 = 0 2 1  π ≡ x − 2y + z − 3 = 0 1 −2 1 −3 : = = ≠ ⇒ Paralelos  π ' ≡ 2 x − 4 y + 2 z − 10 = 0 2 − 4 2 − 10   π ≡ x − 2 y + z − 3 = 0 1 −2 1 −3 : = = = ⇒ Coincidentes  π' ≡ 2 x − 4 y + 2z − 6 = 0 2 − 4 2 − 6

2. Posición relativa de las siguientes parejas de plano y recta: π ≡ (x , y, z ) = (0,0,3) + λ(1,0,−2 ) + µ(0,1,6 )  r ≡ (x , y, z ) = (0,0,1) + τ(1,0,3)  π ≡ (x , y, z ) = (1,1,4 ) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2 )  r ≡ (x , y, z ) = (0,0,5) + τ(2,1,0 )  π ≡ (x , y, z ) = (1,1,4 ) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2 )  r ≡ (x , y, z ) = (0,1,5) + τ(2,1,0 ) 

Solución. En función de la forma de expresión de la recta y el plano, la posición relativa se puede estudiar de dos formas. El plano en forma general y la recta en forma de ecuaciones paramétricas, continúa ó vectorial, se estudia el ángulo formado por la recta y el plano. La otra forma es con el plano en forma general y la recta en forma de ecuaciones reducidas (intersección de planos), la posición relativa la determina el estudio del sistema que forman las tres ecuaciones. 1º Estudiando el ángulo que forma la recta el plano. Se estudia el producto escalar del vector normal del plano y el de dirección de la recta: ≠ 0 ⇒ La recta corta al plano r r   El punto de la recta no cumple la ecuación del plano. La recta es paralela al plano nod: = 0:  El punto de la recta cumple la ecuación del plano. La recta está contenida al plano  i)

π ≡ (x , y, z ) = (0,0,3) + λ(1,0,−2 ) + µ(0,1,6 )  r ≡ (x , y, z ) = (0,0,1) + τ(1,0,3)  Lo primero es pasar la ecuación del plano a general y la de la recta a paramétricas.

x

y z −3

 x=λ  r≡ y=0 z = 1 + 3λ 

π ≡ 1 0 − 2 = 0 : π ≡ 2x − 6 y + z − 3 = 0 0 1 6 r r n o d = (2,−6,1) o (1,0,3) = 2 ⋅1 + (− 6 )⋅ 0 + 1 ⋅ 3 = 5 ≠ 0 Los vectores no son perpendiculares, la recta corta al plano. El punto de corte se encuentra sustituyendo las paramétricas de la recta en el plano, despejando el parámetro y sustituyendo este en las ecuaciones paramétricas de la recta. π ≡ 2 x − 6 y + z − 3 = 0   x=λ 2  P:  ⇒ 2(λ ) − 6(0 ) + (1 + 3λ ) − 3 = 0 : 5λ − 2 = 0 : λ = r≡ y=0 5  z = 1 + 3λ  

2 2 11  2 P =  , 0, 1 + 3  =  , 0,  5 5 5 5

ii)

π ≡ (x , y, z ) = (1,1,4 ) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2 )  r ≡ (x , y, z ) = (0,0,5) + τ(2,1,0 )  x −1 y −1 z − 4

π≡

1 0

0

 x = 2λ  r≡ y=λ  z=5 

− 1 = 0 : π ≡ x − 2y + z − 3 = 0

1 2 r r n o d = (1,−2,1) o (2,1,0 ) = 1 ⋅ 2 + (− 2) ⋅1 + 1 ⋅ 0 = 0

El vector normal del plano y el de dirección de la recta son perpendiculares, por lo tanto, hay dos posibilidades:

Si las coordenadas del punto de la recta cumplen la ecuación del plano, la recta está contenida en el plano, en caso contrario, la recta es paralela al plano. π ≡ x − 2 y + z − 3 = 0 : 0 − 2⋅0 + 5 −3 ≠ 0  B = (0,0,5)  La recta es paralela al plano. iii)

π ≡ (x , y, z ) = (1,1,4 ) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2 )  r ≡ (x , y, z ) = (0,1,5) + τ(2,1,0 ) 

x −1 y −1 z − 4 π≡

1

0

− 1 = 0 : π ≡ x − 2y + z − 3 = 0

0

1

2

 x = 2λ  r ≡ y = 1 + λ  z=5 

r r n o d = (1,−2,1) o (2,1,0 ) = 1 ⋅ 2 + (− 2) ⋅1 + 1 ⋅ 0 = 0 π ≡ x − 2 y + z − 3 = 0 : 0 − 2 ⋅1 + 5 − 3 = 0  B = (0,1,5)  La recta está contenida en el plano.

3. Posición relativa de los siguientes pares de rectas:  r ≡ (x , y, z ) = (1,1,1) + τ ⋅ (1,0,1) i)  r ' ≡ (x , y, z ) = (1,−2,0 ) + τ'⋅(0,1,1)

 r ≡ (x , y, z ) = (1,1,1) + τ ⋅ (1,0,1)  r ' ≡ (x , y, z ) = (2,1,2 ) + τ'⋅(0,1,1)  r ≡ (x, y, z ) = (1,2,0) + τ ⋅ (1,−1,2)  r ' ≡ (x, y, z ) = (1,0,0) + τ'⋅(− 2,2,−4)

ii) iii)

 r ≡ (x , y, z ) = (1,2,0 ) + τ ⋅ (1,−1,2 )  r ' ≡ (x , y, z ) = (2,1,2 ) + τ'⋅(− 2,2,−4 )

iv)

Solución. La forma más sencilla de estudiar la posición relativa de dos rectas es estudiar el rango de la matriz formada por los vectores de dirección de las dos rectas y un vector formado por un punto de cada recta.  A  AB  = 3 : Sercruzan ry no se cortan r :  r  r    d ≠ k ⋅ d s : Se cortan en un punto  d r r ⇒ rg d r  = = 2 :  r r  d r = k ⋅ d s : Paralelas  r   s :  rB d  s   = 1 : Coincidentes  d s    A = (1,1,1) 1 − 1 − 2 − 1 0 − 1  0 − 3 − 1  r : r      d r = (1,0,1) i)  : rg 1 0 1  = rg 1 0 1  = rg A B = ( 1 , − 2 , 0 )  0 0 1 r ' :  r 1 1  1      d ' r = (0,1,1)

0 − 3 −1 1

0

1 = 1 ⋅ (− 1)2 +1

0

1

1

− 3 −1 1

1

= −1 ⋅ (− 2) = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 3

Las rectas se cruzan pero no se cortan (Las recta no son coplanarias).

  A = (1,1,1)  2 − 1 1 − 1 2 − 1  1 0 1  r : r    d = (1,0,1)   ii)   r : rg 1 0 1  = rg 1 0 1 = rg A  0  0 1 1 r ' :  rB = (2,1,2) 1 1     d' r = (0,1,1)  1 0 1 r r 1 0 1 0 1 = 0 ⇒ rg A < 3 : = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 ; d r = (1,0,1) ≠ k ⋅ (0,1,1) = d' r 0 1 0 1 1 Las rectas se cortan en un punto (Las rectas son coplanarias y tienen un punto común).

  A = (1,2,0) 1 − 1 0 − 2 0 − 0   0 −2 0   r : r     d r = (1,−1,2)   iii)  : rg 1 2  = rg 1 − 1 2  = rg A −1  −2  − 2 2 − 4 r ' :  r B = (1,0,0) 2 − 4     d' r = (− 2,2,−4 )  0 1 −2

−2

0 r r 0 −2 − 1 2 = 0 ⇒ rg A < 3 : = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 ; d r = (1,−1,2 ) = k ⋅ (− 2,2,−4 ) = d ' r 1 −1 2 −4

Las rectas son paralelas (coplanaria sin puntos comunes).

  A = (1,2,0 )  2 −1 1− 2 2 − 0  1 −1 2   r : r     d r = (1,−1,2 )   iv)  : rg 1 −1 2  = rg 1 − 1 2  = rg A = 1 Todos proporcionales  −2  − 2 2 − 4 r ' :  r B = (2,1,2 ) 2 − 4     d ' r = (− 2,2,−4 )  Las rectas son coincidentes. 4. Posición relativa de los planos π1≡ 2x + y − 3z = 3, π2≡ x − y + z = 1 π3≡ x + 2y − 2z = 0. Solución. La posición relativa de tres planos se estudia con el sistema de tres ecuaciones que forman las ecuaciones de los planos.  2x + y − 3z = 3  2 1 − 3  2 1 − 3 3      x − y + z = 1 A = 1 − 1 1 A * =    1 −1 1 1   1 2 − 2  1 2 − 2 0  x + 2 y − 2z = 0      2 1 −3 2 1 = −3 ≠ 0 : rgA ≥ 2. 1 − 1 1 = −6 ≠ 0 : rgA = 3 1 −1 1 2 −2

Por dimensiones, la matriz ampliada (A*) no puede tener rango mayor a tres, y por estar en ella contenida la matriz de coeficientes (A), tampoco puede ser menor al rango de está. Rg A = rg A* = 3. Los planos se cortan en un punto. x + y = 0 5. Hallar la posición relativa de la recta r :  y el plano π ≡ 2x − y −z − 1 = 0.  z=0 Solución La posición relativa de una recta y un plano se puede estudiar mediante un sistema formado por las ecuaciones reducidas de la recta y la ecuación general del plano. x+y=0  1 1 0  1 1 0 0      r: z=0 A = 0 0 1  A* =  0 0 1 0   2 − 1 − 1  1 −1 −1 1  2 x − y − z − 1 = 0     

1

1

0

det A = 0

0

1 =3≠0

2 −1 −1 La recta corta al plano en un punto

x −2 y−λ z x + 2 y −1 z − 3 = = ys≡ = = 2 −1 −1 2 3 3 a) hallar λ para que se corten en un punto. b) hallar la ecuación del plano que determinan.

6. Dadas las rectas r ≡

Solución. a) Para que dos recta se corten en un punto se deben cumplir dos condiciones:  AB  r  1. rg d r  = 2 r   ds    r r 2. d r ≠ k ⋅ d s

La segunda condición se cumple: (2,3,−1) ≠ k ⋅ (−1,2,3) 1 42 3 1 42 3 r4 r4 dr

ds

Para hacer cumplir la 1ª condición basta con hacer que el determinante formado por los tres vectores sea nulo.   A = (2, λ,0 ) r : r r r  d r = (2,3,−1) ⇒ AB = b − a = (− 2 − 2,1 − λ,3 − 0 ) = (− 4,1 − λ,3)  s :  rB = (− 2,1,3)  d s = (− 1,2,3) 

 AB  − 4 1− λ 3 r  rg d r  = 2 ⇔ 2 3 −1 = 0 r   ds  −1 2 3   Resolviendo el determinante: 28 5λ − 28 = 0 : λ = 5 b) Una vez calculado el valor del parámetro para el que las rectas son secantes,, la ecuación del plano que contiene a las dos rectas se obtiene con un punto de una de las rectas y los vectores de dirección de ambas.  B = (− 2,1,3) x − (− 2 ) y − 1 z − 3 r π : d r = (2,3,−1) ; π ≡ 2 3 −1 = 0 r d = (− 1,2,3) − 1 2 3  s Desarrollando el determinante y ordenando se llega a la ecuación general del plano pedido. π ≡ 11x − 5y + 7z + 6 = 0 7. Hallar m y n para que la recta

x − 3 y −1 z + 3 = = sea perpendicular al plano 2x +3y −2z +1 =0. m n 4

Solución. Para que una recta sea perpendicular a un plano, el vector de dirección de la recta debe ser paralelo al vector característico del plano, lo cual implica que sean proporcionales. r m = −4 d r = (m, n ,4) m n 4 = = = −2 ⇒   ⇒ (m, n,4) = k ⋅ (2,3,−2) ⇔ r 2 3 −2 n π = (2,3,−2)  n = −6

8. Hallar "a" y "b" para que la intersección de los planos: π1 ≡ 2x + y + 2z = 1, π2 ≡ x − 2y − z = 2, π3 ≡ ax − y + z = b, sea una recta. Solución. Para que la intersección de tres planos sea una recta, los rangos de las matrices que definen el sistema formado por las tres ecuaciones de los planos deben ser 2. rg A = rg A* = 2

2 x + y + 2z = 1   x − 2y − z = 2  ax − y + z = b 

2 2 1   A =  1 − 2 − 1  a −1 1   

2 1 2 1   A* =  1 − 2 − 1 2   a −1 1 b   

Para que el rg A sea 2, el único determinante de orden tres de la matriz tiene que ser nulo, condición que permite obtener a. 2 1 2

det A = 1 − 2 − 1 = 3a − 9 = 0 ⇒ a = 3 a −1 1 Para el valor de a = 3 y partiendo del menor de orden dos distinto de cero

2

1

1 −2

= −5 en la matriz

ampliada, está tendrá rango dos:

2

1

1

det A* = 1 − 2 2 = 15 − 5b = 0 ⇒ b = 3 3 −1 b Para a = b = 3 los planos se cortan en una recta.  3x − 2 y + z + 3 = 0 9. Calcular c para que la recta r ≡  sea paralela al plano π ≡ 2x −y + cz −2 = 0. 4 x − 3 y + 4 z + 1 = 0 Para el valor de c obtenido calcular la distancia entre r y π Solución. r r r r Si π es paralelo a r ⇒ d r ⊥ n π ⇒ d r o n π = 0 El vector de dirección de la recta r se obtiene multiplicando vectorialmente los vectores característicos de los planos que la r r determinan, n 1 = (3,−2,1), n 2 = (4,−3,4) r  −2 1 3 1 3 −2 r r  = (− 5,−8 − 1) ≅ (5,8,1) d r = n 1 × n 2 = (3,−2,1)× (4,−3,4) =  ,− ,   −3 4 4 4 4 −3 

r r d r o n π = (5,8,1) o (2,−1, c ) = 10 − 8 + c = 0 c = −2 π ≡ 2x − y − 2z − 2 = 0 Para c = −2, r es paralela a π, por lo tanto la distancia de r a π es la distancia de cualquier punto (A) de r al plano π. Para calcular las coordenadas de un punto A de la recta r, basta con asignar un valor a una de las variables y resolver el sistema que queda. Si asignamos a z el valor 0:  3x − 2 y + 0 + 3 = 0 3x − 2 y = −3 x = −7 z = 0:A ≡  A≡ : : A = (− 7,−9,0 ) 4 x − 3 y + 4 ⋅ 0 + 1 = 0   4 x − 3y = −1  y = −9 2 ⋅ (− 7 ) − (− 9 ) − 2 ⋅ 0 − 2 7 d (r − π ) = d (A − π ) = = 3 2 2 + (− 1)2 + (− 2 )2

x 3 1 10. Posición relativa de π ≡ y − 1 1 = 0 con: z 0 1 i) ii)

π' ≡ (x, y, z) = (1, −1, 0) + τ (1, 2, 1) + λ (−2, 2, −4) y+5 r≡x= = z +1 2

Solución. Lo primero será pasar a general la ecuación de los pos planos. x 3 1

π ≡ y − 1 1 = 0 : π ≡ x + 3y − 4z = 0 z π' ≡

0

1

x −1 y +1

z

1 −2

2 2

1 = 0 : π' ≡ 5x − y − 3z − 6 = 0 −4

 π ≡ x + 3y − 4 z = 0 1 3 i)  : ≠ ⇒ Secantes π ' ≡ 5 x − y − 3 z − 6 = 0 5 − 1 

π ≡ x + 3 y − 4 z = 0 r r r  ii)   d r = (1,2,1) : n o d r = (1,3,−4 ) o (1,2,1) = 1 ⋅1 + 3 ⋅ 2 + (− 4 ) ⋅1 = 3 ≠ 0 La recta corta al plano. r:  A = (0,−5,−1)    x = 1+ λ  2 x − 3y = 13  11. Dadas las rectas r≡  y = 3 − 3λ y s≡  . Calcular el valor de a para que las dos  y − 2z = a − 3 z = −2 + λ  estén en el mismo plano. Solución. Dada la forma en que viene expresada la recta s (ecuaciones reducidas), y siendo además esta la que lleva el parámetro (a), lo más sencillo será expresar la recta r en forma reducida y estudiar el sistema que forman las ecuaciones reducidas de la dos recta en función del parámetro a.

 x = 1+ λ y−3  y−3  x − 1 = r :  y = 3 − 3λ : x − 1 = = z+2: −3 −3 z = −2 + λ  x − 1 = z + 2 

 x −z = 3 r: 3x + y = 6

El sistema formado por las dos rectas es:

 1 0 −1   x−z =3    r:  0  3x + y = 6  : A =  3 1  2 −3 0   2 x − 3y = 13    s:  0 1 − 2  y − 2z = a − 3  

3   1 0 −1   0 6  3 1 A* =  2 −3 0 13     0 1 − 2 a − 3  

Existen tres posibilidades para que las rectas sean coplanarias: • Secantes: rg A = rg A* = 3 • Paralelas: rg A = 2 ≠ rg A* = 3 • Coincidentes: rg A = rg A* = 2 Los tres posibles casos implican que rg A* < 4, y por tanto |A*| = 0. 1 0 −1 3 1 0 −1 3 3 1 6 3 1 0 6 3 1 0 6 1+3 A* = = {F4 = F4 − 2F1 } = = −1 ⋅ (− 1) 2 − 3 13 = 2 −3 0 13 2 −3 0 13 −2 1 a −9 0 1 −2 a −3 −2 1 0 a −9

= −1 ⋅ (10 − 11a )

A * = 0 : 10 − 11a = 0 ⇒ a =

10 11

x + 4 y + z − 6 = 0 x − 2 y +1 = =z y s≡ 3 −1 x + 2 y − z − 2 = 0 a) Estudiar su posición relativa. b) Determinar la ecuación del plano que las contiene.

12. Dadas las rectas r ≡

Solución. a) Teniendo en cuenta el apartado b, en este caso es mejor trabajar con los vectores y con los puntos de cada una de las rectas. Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta s, resolvemos el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, transformando z en λ, y considerándola constante.  6−λ 4  x = 2 + λ 2 = −2 + 3λ  1 4  x 4 y z 6 0 x 4 y 6 + + − = + = − λ  1 2 z =λ =cte  CRAMER  s≡  →   → 1 6−λ x + 2 y − z − 2 = 0 x + 2 y = 2 + λ     1 2+λ = 2−λ  y= 1 4   1 2 

x = −2 + 3λ B = (− 2,2,0 )  s :  y = 2 − λ : r d s = (3,−1,1)  z=λ 

x = 2 + 3µ  A = (2,−1,0 )  r :  y = −1 − µ :  r d r = (3,−1,1)  z=µ 

r r La posición relativa de r y s se estudia con el rango de la matriz formada por: d r , d s , AB r r AB = b − a = (− 2 − 2,2 − (− 1),0 − 0 ) = (− 4,3,0 )  −4 3 ≠ 0 ⇒ Rango ≥ 2   AB   AB   − 4 3 0  3 −1 r  r     rg d r  = rg 3 − 1 1  :  − 4 3 0 ⇒ rg d r  = 2  r   r   3 − 1 1   3 − 1 1 = 0 ⇒ Rango < 3 d d     s   s 3 − 1 1 

 AB  r  rg d r  = 2 r   ds   

r r d r = d s Las rectas son paralelas.

b) El plano que contiene a las dos rectas lo obtendremos con el vector de dirección de las rectas, el vector formado entre dos puntos (uno de cada recta) y un punto de una de las rectas.  A = (2,−1,0 ) x − 2 y +1 z  r π ≡  d = (3,−1,1) ⇒ π ≡ 3 −1 1 = 0 AB = (− 4,3,0 ) − 4 3 0  Desarrollando y ordenando:

π ≡ 3x + 4y −5z −2 = 0

x = 1+ λ y −1 z + 1  13. Sean las rectas: r ≡ x − 2 = = y s ≡ y = 2 − λ k −2  z = 2λ  a) (1 punto) Hallar k para que r y s sean coplanarias. b) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. c) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas. Solución.  AB  r  a) Para que dos rectas sean coplanarias basta con que rg A = rg d r  = 2 , lo cual se cumple cuando el r   ds    determinante de la matriz formada por los tres vectores es cero. x = 1+ λ  B = (1,2,0) y − 1 z + 1  A = (2,1,−1)  r = r ≡ x−2 = : s ≡ y = 2 − λ :  r AB = (1 − 2, 2 − 1, 0 − (− 1)) = (− 1, 1, 1) k − 2 d r = (1, k,−2)  z = 2λ d s = (1,−1,2 )  −1 1 1 1 1 1 k − 2 = −3(k + 1) : k + 1 = 0 : k = −1 ⇒ rg A < 2. = −1 ≠ 0 : rg A = 2. −1 − 2 1 −1 2 Rectas coplanarias (paralelas o secantes). Para saber cual de las dos posibles posiciones relativas tienen, se comparan sus vectores de dirección, si son iguales o proporcionales paralelas, en caso contrario secantes. r r d r (1,−1,−2) ≠ d s = (1,−1,2) Rectas secantes. El conocimiento de la posición relativa de las rectas es fundamental para el apartado b, ya que, no se calcula de la misma forma el plano que las contiene si las rectas son paralelas que si son secantes. b) Puesto que las rectas son secante, el plano que las contiene se obtiene con los vectores de dirección de cada una de las rectas y con un punto de una de ellas, da igual uno u otro. x − 2 y −1 z +1  A = (2,1,−1) r π≡ 1 −1 − 2 = 0 π : d r = (1,−1,−2) r  d = (1,−1,2) 1 −1 2  s Desarrollando por lo elemento de la primera fila, operando, simplificando y ordenando: π≡x+y−3=0 c) La perpendicular común (t) tendrá como vector de dirección el vector producto vectorial de los vectores de dirección de ambas rectas, y como punto, el punto corte de ambas. El vector de dirección de la perpendicular común coincide con el vector característico del plano que las contiene, calculado en el apartado anterior r r d t = n π = (1,1,0 )

El punto de corte de ambas rectas se obtiene igualando las paramétricas de ambas y calculando uno de los parámetros.  x = 2+µ x = 1+ λ   r ≡  y = 1 − µ s ≡ y = 2 − λ z = −1 − 2µ  z = 2λ   igualando

1  1 + λ = 2 + µ  λ − µ = 1  λ= 4  λ −µ =1   P :  2 − λ = 1 − µ :  − λ + µ = −1 :  : Resolviendo :  3 2λ = −1 − 2µ 2λ + 2µ = −1 2λ + 2µ = −1 µ = −   4 

1 5  x = 1+ 4 = 4 1   1 7  5 7 1 P λ =  :  y = 2 − = ⇒ P , ,  4  4 4  4 4 2  z=21 =1  4 2 Una vez calculados el vector de dirección y el punto: 5  x = 4 + ω  7 t : y = + ω ∀ ω∈ R 4   z= 1  2

x −1 y z −1 = = y el plano π ≡ 2x − y + kz = 0 m 4 2 a) (1 punto) Calcular m y k para que la recta sea perpendicular al plano. b) (1 punto) Calcular m y k para que la recta esté contenida en el plano Solución. a) Si una recta es perpendicular a un plano, el vector de dirección de la recta debe ser proporcional al vector característico del plano. r r dr = K ⋅nπ 14. Sean la recta la recta r ≡

(m,4,2) = K ⋅ (2,−1, k ) Igualando por componentes y despejando de cada una de ellas la constante queda: m 4 2 = = =K 2 −1 k Comparando la 1ª y la 3ª con la 2ª se obtienen los valores de m y k. m 4 = ⇒ m = −8 2 −1

4 2 1 = ⇒ k=− −1 k 2

b)

Para que la recta r este contenida en el plano π se deben cumplir dos condiciones: El vector de dirección de la recta debe ser perpendicular al vector característico del plano. r r r r dr ⊥ nπ ⇒ dr o nπ = 0 2. El punto de la recta debe pertenecer al plano, por lo tanto, las coordenadas del punto de la recta deben satisfacer la ecuación del plano. 1.

Estas dos condiciones permiten calcular los dos parámetros. r r d r o n π = 0 : (m,4,2) o (2,−1, k ) = 0 : m ⋅ 2 + 4 ⋅ (−1) + 2 ⋅ k = 0 :

A r = (1,0,1) ∈ π ≡ 2 x − y + kz = 0 :

2 ⋅1 − 0 + k ⋅1 = 0 :

2m + 2k = 4

k = −2

Sustituyendo el valor de k en la primera ecuación se halla m. 2m + 2(−2) = 4 :

m=4

 4 x − y + z = −2 2 x + 4 y + 2z = −1 15. Calcular el valor de k para que las rectas, r ≡  y s≡ , se 3x − y + kz = −2  2 x − ky + z = −1 corten en un punto. Calcular para dicho valor la ecuación del plano que las contiene. Solución. Dada la forma en que vienen expresadas las rectas (intersección de planos), lo más sencillo será estudiar el sistema que forman las ecuaciones de los cuatro planos en función parámetro k.  4 −1 1   4 −1 1 − 2  4 x − y + z = −2      3x − y + kz = −2   3 −1 k   3 −1 k − 2 A= A* =   2 4 2 2 4 2 −1   2 x + 4 y + 2 z = −1          2 x − ky + z = −1 2 − k 1  2 − k 1 −1  Las distintas posibilidades se clasifican en función de los rangos de las matrices que definen el sistema (A, de coeficientes; A*, ampliada). • Se cruzan y no se cortan: rg A = 3 ≠ rg A* = 4 • Se cortan: rg A = 3 = rg A* • Paralelas: rg A = 2 ≠ rg A* = 3 • Coincidentes: rg A = 2 = rg A*

Para que las rectas se corten en un punto (rg A = 3 = rg A*), el determinante de la matriz ampliada debe ser cero, ya que en caso contrario, las rectas se cruzarían y no se cortarían. 4 −1 1 − 2 4 −1 1 2 det A* =

3 2

−1 k − 2 3 = −1 ⋅ 4 2 −1 2

2 −k 1

−1

−1 k 2 4 2 1

2 −k 1 1

Para calcular el determinante de orden cuatro, se reduce a orden tres. Tomando como pivote el término 3.4, se anulan todos los términos de la cuarta columna, operando con las filas. 4 −1 1 2 0 −9 −3 0 0 −9 −3  F1 = F1 − 2F3  3 −1 k 2  − 1 − 9 k −4 0  3+ 4 A * = −1 ⋅ = F2 = F2 − 2F3  = −1 ⋅ = −1 ⋅ 1 ⋅ (− 1) −1 −9 k−4 = 2 4 2 1  2 4 2 1  F4 = F4 − F3  0 − k − 4 −1 2 −k 1 1  0 − k − 4 −1 0

0 = −1 0

−9 −9 −k−4

−3

k − 4 = −1 ⋅ (− 1)1+ 2 −1

−9

−3

− k − 4 −1

= 2 ⋅ (− 1)2

9

3

k+4 1

= −3 ⋅ (k + 1)

A * = 0 ⇒ −3 ⋅ (k + 1) = 0 ⇒ k = −1 La única opción posible para que las rectas se corten será cuando k = −1. Para comprobar si se cortan basta con estudiar si el rango de la matriz de coeficientes es tres.  4 −1 1    4 −1 1  3 − 1 − 1 A= 3 − 1 − 1 = 30 ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A * 2 4 2   2 4 2 2 1 1   

Para k = −1 las rectas se cortan en un punto El plano que contiene a las dos rectas se obtiene con los vectores de dirección de las rectas y un punto de una de ellas. Existen varios métodos para obtener la determinación lineal de la recta, el más general es resolver el sistema compatible indeterminado que forman las ecuaciones de los planos que la definen. 4 x − y + z = −2 Tomando la z como constante r≡ 3x − y − z = −2 4 x − y = −2 − λ Resolviendo por el método de Cramer: r≡ 3x − y = −2 + λ

x=

− 2 − λ −1 − 2 + λ −1 4 −1

= −2λ

y=

4 −2−λ 3 −2+λ

3 −1

4 −1 3 −1

r  x = −2λ d = (− 2, − 7, 1)  = 2 − 7λ ; r :  y = 2 − 7λ ⇒  r  A = (0, 2, 0)  z=λ 

2x + 4 y + 2z = −1 Tomando y como constante s≡  2x + y + z = −1 2x + 2z = −1 − 4µ s≡ Resolviendo por el método de Cramer:  2 x + z = −1 − µ

x=

− 1 − 4µ 2 −1− µ 1 2 2 2 1

=

−1 +µ 2

z=

2 − 1 − 4µ 1 −1 − µ 2 2 2 1

−1  r x = 2 + µ  d s = (1, 1, − 3)   = −3λ ; s :  y = µ ⇒   −1   z = −3µ B =  2 , 0, 0      

Conocidas las determinaciones lineales de la dos recta, el plano que las contiene lo obtenemos con los vectores de dirección de cada una de las rectas y un punto, que simplificar utilizaré el A. x −0 y−2 z−0  A = (0, 2, 0 ) r π : d r = (− 2, − 7, 1) : π ≡ − 2 −7 1 =0 r  d = (1, 1, − 3) 1 1 −3  s Desarrollando, ordenando y simplificando: π ≡ 4x − y + z + 2 = 0

16. Hallar la posición relativa de las rectas: x + y = 0 r: , s: x − 1 = y − 1 = z − 1  z=0 Solución. La posición relativa de dos rectas se puede estudiar a partir de las determinaciones lineales de ambas rectas (punto y vector).  x = −λ  A = (0,0,0)  x + y = 0 y = λ  x = −λ  r: → ⇒ r :  y = λ ⇒ r  z=0  z=0 d r = (− 1,1,0)  z=0  x − 1 y − 1 z − 1  rB = (1,1,1) s: = = : 1 1 1 d s = (1,1,1)

Conocidas las determinaciones lineales de ambas retas, su posición relativa es función del rango de la matriz formada por los vectores de dirección de las dos rectas y un vector formado por un punto de cada recta.  A  AB  = 3 : Sercruzan ry no se cortan r :  r  r    d ≠ k ⋅ d s : Se cortan en un punto  d r r ⇒ rg d r  = = 2 :  r r  r B    s :  r d r = k ⋅ d s : Paralelas  ds     = 1 : Coincidentes   d s  AB = (1 − 0,1 − 0,1 − 0 ) = (1,1,1)  1 1 1 1 1 1   1 1 r ⇒ rgA = rg − 1 1 0  : − 1 1 0 = 0 rg A < 3 : = 2 ≠ 0 rg A = 2 dr r = (− 1,1,0 ) − 1 1  1 1 1 1 1 1  d = (1,1,1)    s

r r Las rectas son coplanarias., como además d r = (− 1,1,0 ) ≠ k ⋅ (1,1,1) = k ⋅ d s , las rectas son coplanarias y secantes. 17. Comprueba si son perpendiculares: x y −1 z x −1 y + 2 z + 3 a) r ≡ = = ys≡ = = 2 − 4 2 3 3 3 y+2 z b) r ≡ x−1 = = y π≡ 2x + 4y − 4z = 0 2 −2 c) π ≡ 2x − y + 4z − 1 = 0 y σ ≡ x + 6y + z − 3 = 0 Solución. a) Para comprobar si dos rectas son perpendiculares basta con multiplicar escalarmente sus vectores de dirección. r r • Si d r o d s = 0 ⇒ Perpendiculares r r • Si d r o d s ≠ 0 ⇒ No Perpendiculares r d r = (2,3,−4 ) r r r  : d r o d s = (2,3,−4 ) o (3,2,3) = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + (− 4 ) ⋅ 3 = 0 d s = (3,2,3)  Rectas perpendiculares. b) Si una recta es perpendicular a un plano, el vector de dirección de la recta y el vector característico del plano deben ser iguales o proporcionales. r d r = (1,2,−2 )   : 2 ⋅ (1,2,−2 ) = (2,4,−4 ) Proporcionales r n π = (2,4,−4 ) La recta es perpendicular al plano.

c) Para que dos planos sean perpendiculares sus vectores característicos deben ser perpendiculares y por tanto su producto escalar nulo. r n π = (2,−1,4 ) r r r  : n π o n σ = (2,−1,4 ) o (1,6,1) = 2 ⋅1 + (− 1) ⋅ 6 + 4 ⋅1 = 0 n σ = (1,6,1)  Planos perpendiculares