Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República

Análisis complejo - Curso 2009

Práctico 1

1. Expresar los siguientes números complejos de la forma x + iy , con x, y ∈ R: a)(−1 + 3i)−1

b)(1 + i)(i − 1) √

e)(7 + πi)(π + i) i)

2+i 2−i

c)(1 + i)i(2 − i)

f)(2i + 1) 2i j)

1+i i

k)

d)(i − 1)(2 − i)

g)(1 + i)(i − 2)(i + 3)

i 1+i

l)

i 1+i

m)

h)(i + 1)−1

i3 3−i

n)

4 −3 + 5i

2. Encontrar la parte real e imaginaria de (1 + i)100 3. Sean α, β dos números complejos. Probar que: (a)αβ = α¯ β¯ (b) α + β = α¯ + β¯ (c)|αβ| = |α||β| (d) |α + β| ≤ |α| + |β| 4. Calcular el módulo de: (a) i(1 + 2i)(4 − 3i)(2 − i)

(b)

(2−4i)(3−6i)(2−i) (4−2i)(6−5i)

5. Sea α ∈ C, α 6= 0. ¾Cuál es el módulo de α/¯ α? ¾Cuánto es α? 6. Escribir los siguientes √ números complejos en forma polar: √ a) 1 + i b) 1 + i 2 c) −3 d) 4i e) 1 − i 2 f) −5i g) −7 h) −i − 1 7. Escribir los siguientes números en la forma x + iy , con x, y ∈ R: a) e3πi b) e2πi/3 c) 3eπi/4 d) πe−πi/3 e) eπi/3

f) e−iπ

8. Sea α ∈ C, α 6= 0. a ) Probar que existen dos números complejos distintos cuyo cuadrado es α. b ) Si α = a + bi, a, b ∈ R, encontrar x, y ∈ R (en función de a y b) tales que (x + iy)2 = α.

9. Dibujar en el plano todos los complejos z tales que z n = 1, para n = 2, 3, 4, 5. 10. Sea α ∈ C, α 6= 0, n ∈ Z+ . Mostrar que existen n complejos distintos z tales que z n = α. Escribirlos en forma polar. 11. Calcular: √ √ ii) −i i) i

iii)

√

i+1

iv)

q

√ 1−i 3 2

12. Encontrar todas las raíces cuartas de 1, i, −i. 1

13. Resolver la ecuación cuadrática z 2 + (a + bi)z + c + di = 0 (a, b, c, d ∈ R). 14.

a ) Encontrar todos los complejos que verican ez = 1. b ) Si ez = ew , mostrar que existe k ∈ Z tal que z = w + 2kπi.

15. Simplicar 1 + cos(φ) + cos(2φ) + . . . + cos(nφ). 16. Si z = cos(2π/n) + i sen(2π/n), demostrar que 1 + z h + z 2h + . . . + z (n−1)h = 0 para todo h no múltiplo de n. 17. Mostrar que todas las matrices de la forma 

a −b

b a



a, b ∈ R combinadas mediante la adición y la multiplicación de matrices es isomorfo al cuerpo de los números complejos.

18. Probar que C ∼ =

R[x] .

2

1

An´alisis III B - Turno ma˜ nana - Trabajo Pr´actico Nro. 1

Trabajo Pr´actico Nro. 1 N´ umeros Complejos

1. Comprobar que

1 + 2i 2−i 2 + =− 3−4i 5i 5

2. Efectuar las operaciones indicadas: (a) ( 12 + i3) + (1 + i 34 )

√ √ (b) ( 13 + i) − (2−i 14 ) + (− 54 + i2) (c) i 2 + (1 + i 2)

√ (d) (2−i 32).(2 + i 32 ) (e) (i3).(i2).(−i)

(f) (3 + i4) : (5−i2)

(g) (i 23 ) : (1−i6)

(i) (−i2)7

(h) (1−i)2

3. Probar que ∀ z, w ∈ C vale que: (a) Im(iz)= Re(z) (c) Re(z · w) = Re(z · w) (f) iz = −iz

(b) Re(iz)= —Im(z) (d) zw = zw (g) z · w + z · w = 2 Re(z · w) = 2 Re(z · w)

4. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para dos complejos cualesquiera z y w. (a) Re(z · w) = Re(z)· Re(w)

(b) Re(kz) = k Re(z),

k∈R

(c) Im(z−w) = −Im (w−z)

5. Comprobar e interpretar geom´etricamente (a) z1 + z2 = z1 + z2

(b) z1 −z2 = z1 −z2

(d) z1 : z2 = z1 : z2 , si z2 6= 0 (e) |z| = |z| (g) z + z = 2 Re (z) ¯ ¯ ¯ ¯ (j) |z1 + z2 | ≥ ¯ |z1 |−|z2 | ¯

(h) z −z = i 2 Im (z)

¯ ¯ ¯ ¯ (k) |z1 − z2 | ≥ ¯ |z1 |−|z2 | ¯

6. ¿Bajo qu´e condiciones puede afirmarse que

(c) z1 · z2 = z1 · z2 (f) z · z = |z|2 (i) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |

z es real? 1 + z2

7. (a) Mostrar que los puntos z1 , z2 y z3 est´an en la misma recta si y s´olo si z1 −z2 es un n´ umero real. z1 −z3 (b) Deducir las ecuaciones de la recta: ax + by + c = 0 a, b, c ∈ R, y de la circunferencia: ax2 + ay 2 −2bx−2cy + d = 0 a, b, c, d ∈ R, en funci´on de z y z.

2

An´alisis III B - Turno ma˜ nana - Trabajo Pr´actico Nro. 1

8. Determinar el m´odulo de cada una de las siguientes expresiones: √ √ (2 + i 5)(1 + i) (a) 2 + i 5 (b) (2−i4) 9. Hallar una representaci´on trigonom´etrica de los siguientes n´ umeros complejos: (a) 2 − √ i2 (c) − 3 + i3

(b) i3√ √ (d) − 2−i 2

10. Encontrar el argumento principal de los n´ umeros complejos del ejercicio anterior. 11. Expresar en forma bin´omica (a + ib) los siguientes n´ umeros complejos: (a) 2cis(3)

notaci´on: cis(θ) = cos(θ)+isen(θ)

(b) 2cis( 10 π) 3 √ (c) ( 3 + i)6 12. (a) Dar todos los valores de: 1 1 (i) i 2 (ii) (1 − i)− 4 1 1 (iii) (243) 5 (iv) 1 3 (b) Representar en forma gr´afica. 13. Determinar los conjuntos de n´ umeros complejos cuyos diagramas se indican a continuaci´on a)

b)

c)

14. Hallar y representar cada uno de los siguientes conjuntos: (a) A = {z ∈ C : z −z = i}

An´alisis III B - Turno ma˜ nana - Trabajo Pr´actico Nro. 1

3

(b) A = {z ∈ C : |z| ≤ 1/2, Im(z) > 1/8}

(c) A = {z ∈ C : |Re(z)| ≤ 3, |Im(z)| > 2}

15. Explique el significado geom´etrico de las siguientes relaciones. Represente gr´aficamente: (a) |z −z0 | < R ;

|z −z0 | > R ;

(b) 1 < |z| < 2 π 2π (c) −1

|z −z0 | = R (R > 0)

(e) |z −1| + |z + 1| = a (a > 2) (f) |z −z1 | = |z−z2 |

(g) 0 4 y 0 0 ⇐⇒ Re(z) > 0 z

(f) |z1 z2 | = |z1 ||z2 | ¯ z ¯ |z | ¯ 1¯ 1 (z2 6= 0) (g) ¯ ¯ = z2 |z2 | ¯P ¯ n ¯ n ¯ P (h) ¯ zk ¯ ≤ |zk | k=1

k=1

√ (i) |z| 2 ≥ |Re(z)| + |Im(z)|

4

An´alisis III B - Turno ma˜ nana - Trabajo Pr´actico Nro. 1

Sucesiones y Series 17. Determinar el t´ermino general de cada una de las siguientes sucesiones reales: (a) 1, 3, 5, 7, ... (b) 2, 4, 6, 8, ... (c) 9, 27, 81, 243, ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , ... (e) −1, , − , , − , ... (f) , 0, , 0, , 0, ... 2 2 2 2 3 4 5 2 4 6 18. Analizar si las sucesiones del ejercicio anterior son mon´otonas y si son acotadas. 19. Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones reales: √ √ 1 5 (a) an = 3− (b) an = (−1)n (c) an = n + 1− n n n √ n3 + 2 n2 sen(2n) (d) an = (e) an = (f) an = 2 n n2 −2 √ n! n (g) an = (h) an = (−1)n (i) an = n an + bn , a ≥ b ≥ 0 (n + 1)! n+1 sen( nπ ) nk 2 (j) an = cos(nπ) (k) an = (l) a = , k∈N n n2 2n 20. Hallar, si existe, el l´ımite de las siguientes sucesiones de n´ umeros complejos: √ n in (a) zn = n n + ir , r ∈ R (b) zn = − (c) zn = n in n + i3 n + 1 µ ¶n ´ √ √ ³√ (1 + i) n (d) zn = n n + i2− n + i (e) zn = i (f) zn = 2 n (g) zn = (cos t + i sen t) , t ∈ R 21. Se toma una hoja de papel de 30 cm de largo por 20 cm de ancho y 0.05 mm de espesor. Calcular el a´rea. Ahora se dobla la hoja por la mitad. Calcular el ´area y el espesor. Si se dobla la hoja 20 veces, ¿cu´al ser´ıa el a´rea y cu´al el espesor? 22. Sea Pn el per´ımetro de un pol´ıgono regular de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, calcular lim Pn . n→∞

23. Calcular las N primeras sumas parciales de las siguientes series reales: ¶ ∞ ∞ µ X X 1 1 k (a) 2 , N =3 (b) − , N =3 2k + 1 2k + 3 k=1 k=1 µ ¶k ∞ X 2 k (c) (−1) , 3 k=1

N =4

(d)

∞ X k=1

√ k k , 2

N =4

24. Determinar, si es posible, cu´ales de las series del ejercicio 23 son divergentes, utilizando la condici´on necesaria de convergencia. 25. Analizar la convergencia de las siguientes series reales utilizando el criterio de comparaci´on: ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 2 1 1 2 + cos(k) (a) (b) (c) (d) k (k + 1) k 1 + 2k k k=1 k=1 k=0 k=1

5

An´alisis III B - Turno ma˜ nana - Trabajo Pr´actico Nro. 1

26. Determinar, si es posible, mediante el criterio de D’Alambert si las siguientes series reales convergen: ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 3k k! 4k + 1 5k (a) (b) (c) (d) k 2k 100k 3k (k + 1)! k=1 k=1 k=0 k=0 27. Analizar la convergencia de las siguientes series reales mediante el criterio de Cauchy: ¶k2 ∞ ∞ ∞ µ ∞ X X X X 1+k 2k+1 kk (2k−1)k (a) (b) (c) (d) kk 10k k k k=1 k=1 k=1 k=1 28. Determinar el car´acter de las siguientes series reales alternadas: ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 cos(kπ) √ (a) (−1)k (b) (−1)k−1 k (c) 2k + 3 3 k k=1 k=1 k=1

(d)

∞ X k (−1)k k 6 k=1

29. Analizar cu´ales de las series del ejercicio anterior son absolutamente convergentes y cu´ales condicionalmente convergentes. 30. Determinar el car´acter de las siguientes series reales: ∞ ∞ ∞ X X X k 1 2k (a) (b) (c) 4k 2 −3 k 3 +k+2 k 3k k=1 k=1 k=1 (d)

∞ X k! kk k=1

(e)

∞ X k=1

1 √ 2k + 1

31. Estudiar la convergencia de la serie

(f)

∞ X k=1

∞ P

1 (ln(k + 1))k

an cuyo t´ermino general es:

n=1

n+1 (a) an = 2n + 1 µ

¶n 2n (e) an = 3n + 1

1 (b) an = n 2

µ

¶n 3n (d) an = 2n + 1

1 (c) an = √ n

µ ¶ 1 rn n! (f) an = sen 2 (g) an = n n n

r>0

32. En un cuadrado de lado a se unen los puntos medios de sus lados y se obtiene un nuevo cuadrado. En este segundo cuadrado se unen los puntos medios de los lados y se obtiene un tercer cuadrado. As´ı se continua indefinidamente. ¿Cu´al es la suma de las a´reas de los infinitos cuadrados? a a 33. Determinar para qu´e valores de a la serie: a + + + · · · converge, 1 + a (1 + a)2 y en ese caso cu´al es su suma. 34. Una pelota se deja caer desde cierta altura h, luego rebota y sube 3/4 h y as´ı indefinidamente. Determinar la distancia total recorrida por la pelota, si la altura inicial es de 4 m.

6

An´alisis III B - Turno ma˜ nana - Trabajo Pr´actico Nro. 1

35. Analizar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series complejas: ∞ ∞ ∞ X X X n (1 + i)n (a) (b) cis(n) (c) 3n n n=0 n=0 n=1 (d)

∞ X cis(nθ) n=1

n2

(e)

∞ n X i n=0

n

(f)

∞ X cis(nθ) n=1

n

Facultad de Ingenier´ıa - UNCo ´ Algebra y Geometr´ıa II 2o cuatrimestre 2008

Trabajo Pr´actico No 2: N´ umeros Complejos 1. Escribir en forma bin´omica y representar en el plano los siguientes n´ umeros complejos: (3, 0)

(−2, 3)

(0, 2)

(−2, −3)

2. Resolver: a) (3 + 2i) + (2 − 5i)

d ) (−2 + 3i)2

b) (−3 − 5i) − (1 − 2i)

e) 5 + i3 − i7 + 6i6 − 3 + i − i13

c) (2 − i).(−1 − 3i) 3. Resolver: 3 + 2i a) 2−i

√ √ 3 + 2i √ b) √ 3 − 2i

1 + 3i √ c) √ 2 + 2i

4. Escribir en forma bin´omica el resultado de las siguientes expresiones: a) (z12 − z2 ) + z3 .z4 b)

z1 + z2 z3

siendo z1 = 2 − i, z2 = −1 + 3i, z3 = −2i, √ siendo z1 = 2 + 2i, z2 = −2 + i, z3 = 2 − 3i

z4 = 1 +

√ 3i

5. Demostrar: a) El conjugado del opuesto de un n´ umero complejo es igual al opuesto del conjugado. b) El conjugado de la diferencia de dos complejos es igual a la diferencia de los conjugados. e) z = z ⇔ Im(z) = 0 c) z = z f ) z = −z

d ) z − z = 2Im(z)i

⇔

Re(z) = 0

6. Calcular m´odulo y argumento de los siguientes complejos: (1 + i)

(1 − i)

(−2 + 4i)

(−2)

(−3i)

(−2 − 4i)

7. Expresar los siguientes n´ umeros complejos en forma bin´omica: ¯ ¯ a) 23 (cos 135o + i sen 135o ) ¯1¯ c) ¯¯ ¯¯ 2 210o b) 34 (cos −60o + i sen −60o ) 8. Sean:

z1 = |3|30o

z2 = |2|150o

z3 = |5|210o

a) Llevar a la forma bin´omica y representar geom´etricamente. b) Calcular:

z1 + z3 z2

9. Llevar a la forma trigonom´etrica, resolver y representar gr´aficamente: √ −1 + 3i √ √ √ c) a) (1 + 3i).(3 + 3i) 2 − 2 3i √ √ √ √ 3 (−6 + 2 3i).(−2 + 2 3i) b) (− 2 + 2i) √ √ d) (2 − 2 3i).(−1 + 3i)

´ Algebra y Geometr´ıa II - Trabajo Pr´actico No 2

2

10. Utilizando la f´ormula de De Moivre: a) Demostrar: 1) sen 2α = 2 sen α. cos α 2) cos 2α = cos2 α − sen2 α b) Realizar las siguientes operaciones: 1) (1 + i)47 √ 2) (− 3 − i)100 11. Calcular: √ a) 5 1 p √ b) −2 + 2 3i

c)

p 6

d)

√ 3 −i

√ · ¸ 3−i 1+i 6 3) √ · 3+i 1−i p √ 4 −1 − 3i √ f ) 3 −8

|4|210o

e)

12. Hallar anal´ıticamente los valores de z ∈ C que verifican las siguientes condiciones: a) (2 + 3i)z − (−1 + 2i) = −2 − 3i e) z + z1 = 2z 3 ; |z| = 1 b) z − (2 − i)z + (3 + i) = 0

f ) z 5 + 32 = 0

c) z 3 = z;

g) |z + 3| + |z + 1| = 6

z 6= 0

d ) z 2 + 5 = 4z 13.

h) |z − 1 − 2i| + |z − 1 − 4i| = 8

a) Calcular las ra´ıces de la unidad de orden 2,3,4,5,6. b) Indicar cu´ales de los siguientes complejos son ra´ıces de la unidad y de que orden son: 1) cos π4 + i sen π4 √ 4) 12 − 23 i 8 8 2) cos 21 π + i sen 21 π 5) 1 − i √ √ 3) cos 3π + i sen 3π

14. Expresar en forma exponencial los siguientes n´ umeros complejos: z1 = 3 + 4i

z2 = |6|60o

15. Demostrar que: a) eix .eiy = ei(x+y)

z3 = 3(cos 30o + i sen 30o )

z ρ 0 = 0 ei(α−α ) 0 z ρ n d ) z = ρn einα c)

0

b) z.z 0 = ρ.ρ0 .ei(α+α )

16. Representar en el plano complejo el conjunto de todos los z ∈ C que verifican cada una de las siguientes relaciones: a) Re(z) = 3

e) Im(z) ≥ 1

b) Im(z) < −4

f ) |z|2 > 9

c) Re(z 2 ) = 0 π 3 d) < arg(z) ≤ π 4 4

g) |z − 2i| ≤ 1

y

h) |z − 3 + 2i|2 ≥ 4

0 ≤ arg(z)