CALCULO DE LIMITES DE SUCESIONES Para calcular el límite de una sucesión, el primer paso es sustituir n por infinito y operar teniendo en cuenta las operaciones con infinito. OPERACIONES CON INFINITOS Teniendo cuidado en no tomar los símbolos por número. El símbolo ∞ nunca es un número. Representa una sucesión que tiende a infinito. La l aquí tampoco significa número, sino sucesión que converge a l. Siguiendo con este simbolismo, también son ciertas las siguientes expresiones:

(−∞ ) + l = −∞ (+ ∞ ) + (+ ∞ ) = +∞ (− ∞ ) + (− ∞ ) = −∞ − (+ ∞ ) = −∞ − (− ∞ ) = +∞

(+ ∞ )·l = +∞ si l > 0 (− ∞ )·l = −∞ (+ ∞ )·l = −∞ si l < 0 (− ∞ )·l = +∞

(+∞ )(· +∞ ) = +∞ (+ ∞ )(· − ∞ ) = −∞ l =0 ±∞

l (+ ∞ ) = +∞ si l > 1 (− ∞ )  l =0  l + ∞ = 0 si 0 < l < 1 − ∞ l = +∞

(+ ∞ )(+ ∞ ) = +∞ (+ ∞ )(− ∞ ) = 0 si l > 0, (+ ∞ )l = ∞ si l < 0, (+ ∞ )l· = 0 l 0 = 1, si l ≠ 0

INDETERMINACIONES

(+ ∞ ) + (− ∞ ) = ? (+ ∞ ) − (+ ∞ ) = ? (− ∞ ) − (− ∞ ) = ?

(+ ∞ )·0 = ? (− ∞ )·0 = ? ±∞ =? ±∞ 0º = ?

1+ ∞ = ? 1−∞ = ?

(+ ∞ )0 = ? Formas de resolver las indeterminaciones ∞ = ? Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la n de mayor grado del ∞ denominador. Otra forma mas rápida de resolver la indeterminación es tener en cuenta que el límite de un polinomio cuando la variable tiende a infinito, solo depende del monomio de mayor grado, por lo tanto nos quedaremos con los monomios de mayor grado del numerador y denominador, simplificaremos lo posible y acabamos sustituyendo por infinito. En general se puede establecer que el límite depende de los grados del numerador y denominador: P (n ) • Sí Grado P(n) > Grado Q(n) lím = ±∞ n → ∞ Q( n ) P (n ) • Sí Grado P(n) = Grado Q(n) lím =L≠0 n → ∞ Q( n ) P (n ) =0 • Sí Grado P(x) < Grado Q(x) lím n → ∞ Q( n )

1

3n 2 − 4n + 2 3n 2 4n 2 2 − + 3n − 4 + 3n − 4n + 2 n n n = Lím n = Ejemplo: Lím = Lím = Lím n 5 − 2n 5 2n 5 n →∞ ÷ n n →∞ n →∞ n →∞ 5 − 2n − −2 n n n n 2 3⋅∞ − 4 + ∞ = ∞ − 4 + 0 = ∞ = −∞ = 5 0−2 −2 −2 ∞ ∞   ∞

2

Por el método abreviado: ∞  

3n 2 − 4n + 2  ∞  3n 2 3n 3 ⋅ ∞ Lím ≈ Lím = Lím = = −∞ ÷ n n → ∞ − 2n n →∞ n →∞ − 2 5 − 2n −2 - ∞−∞ = ?. Esta indeterminación se produce generalmente cuando se restan n de igual grado que no se pueden operar, es típico de expresiones irracionales ó de restas de fracciones algebraicas. Para resolver los límites con expresiones irracionales se multiplica y divide por el conjugado de la irracionalidad, buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permite quitar las raíces y eliminar la indeterminación o transformarla a ∞ ∞ . En el caso de resta de fracciones algebraicas lo que se hace es restar la fracciones para obtener una sola fracción y transformar la indeterminación a ∞ ∞

 n2 + 3 − n2 + 5  ⋅  n2 + 3 + n2 + 5      (∞ − ∞ )   = 2 2   Ejemplo: Lím n + 3 − n + 5  = Lím  2 2 n → ∞  Conjugado n → ∞ n +3 + n +5 2

2

 n2 + 3  −  n2 + 5      2 2 −2    = Lím n + 3 − n + 5 = Lím = Lím  = 2 2 2 2 2 n →∞ n →∞ n →∞ n +3 + n +5 n +3 + n +5 n + 3 + n2 + 5 −2 −2 −2 −2 = = = = =0 2 2 ∞ + ∞ ∞ ∞+ ∞ ∞ +3 + ∞ +5

(

)

 n 2 + 5n + 3 − n  ⋅  n 2 + 5n + 3 + n        = Ejemplo: Lím n + 5n + 3 − n  = Lím  2 n → ∞  Conjugado n → ∞ n + 5n + 3 + n (∞ − ∞ )

2

2

∞  n 2 + 5n + 3  − n 2     2 2 ∞ n + 5n + 3 − n 5n + 3   = Lím = Lím = Lím = Lím n →∞ n →∞ n 2 + 5n + 3 + n n 2 + 5n + 3 + n n → ∞ n 2 + 5n + 3 + n ÷ n n → ∞

= Lím n →∞

5n + 3 n = 2 n + 5n + 3 + n n

5n 3 3 3 + 5+ 5+ 5+0 5 n n n ∞ = Lím = = = 2 n →∞ 2 5 3 5 3 1 + 0 + 0 + 1 n 5n 3 n 1+ + 2 +1 1+ + 2 +1 + 2 + 2 + 2 n n ∞ ∞ n n n n

(

)

(

)

 n2 n 2 + 1  (∞ − ∞ ) n 2 (n − 7 ) − n 2 + 1 ⋅ (n + 1) n 3 − 7n 2 − n 3 + n 2 + n + 1 Ejemplo: Lím − = Lím = Lím =  n →∞ n + 1 n →∞ n →∞ (n + 1) ⋅ (n − 7) n −7  n 2 − 7n + n − 7  2

∞   −1  ∞ 

− 8n − n − 8n 2 ≈ Lím 2 = −8 2 n → ∞ n − 6n − 7 n →∞ n

= Lím

2

- 1±∞ Es la indeterminación del número e n

 1 Se define el número e como: e = Lím1 +  , o de forma mas general con una sucesión divergente Sn n → ∞ n  1 e = Lím 1 + S n → ∞ Sn

  

Sn

Propiedades: 1.

Cualquier número que se sume al exponente no altera el resultado

2.

 1 Lím 1 +  =e x x → ∞ Cualquier número que multiplique al exponente, aparece como exponente de e.

3.

n  1 m Lím 1 +  =e m x x → ∞ Cualquier número que se sume al denominador no altera el resultado

4.

1   Lím 1 +  =e x+n x → ∞ Cualquier número que multiplique a la fracción, aparece como exponente de e.

x +n

nx

x

x

n n   e = Lím 1 +  =e m m·x  x → ∞

Para resolver esta indeterminación se puede proceder de dos formas, o transformar la expresión, mediante operaciones equivalente, hasta expresarla como el número e o aplicar la “receta” de la transformación.

 Lím A(n ) = 1  1±∞ Lím [B(n )⋅(A (n )−1)] Lím[A(n )]B(n ) =  n → ∞ = e n →∞ B(n ) = ±∞  e n →∞ nLím →∞   2n + 3  Ejemplo: Lím  n → ∞ 2 n − 1 

n + 3 1∞

 2n + 3  = Lím1 + − 1 n → ∞ 2n − 1 

4   = Lím1 +  n → ∞ 2n − 1 

n +3

n +3

 2n + 3 − (2n − 1)  = Lím1 +  n → ∞ 2n − 1 

    1  = Lím1 + 2n − 1  n → ∞   4    Lím 

n +3

4

2 n −1  n →∞  2 n −1    4     1    =  Lím1 +  2n − 1  n → ∞     4      

    1  = Lím1 + 2n − 1  n → ∞   4  

n +3

=

2 n −1 4 ⋅ ⋅ (n + 3 ) 4 2 n −1

=

 ⋅ (n + 3 )   Lím

= e n →∞

4 n +12 2 n −1

=e

4

2

= e2

Aplicando la transformación:

 2n + 3  Lím  n → ∞ 2n − 1 

n + 3 1∞

=e

  2n + 3  Lím  (n + 3 )⋅ −1   n →∞   2 n −1  

=e

Lím n →∞

=e

  2 n + 3 − (2 n −1)   Lím (n + 3 )⋅  n →∞  2 n −1  

4 n +12 2 n −1

3

=e

4

2

= e2

=e

  4  Lím  (n + 3 )⋅  n →∞   2 n −1  

=