a.

1. Averiguar los valores reales que verifican las siguientes condiciones: x−2 ≤ 2

b.

x+

c.

2x + 3 ≥ 6

1 =5 2

Solución. El valor absoluto convierte cualquier expresión en positiva. Para eliminar el valor absoluto de una ecuación habrá que tener en cuenta que la expresión bajo él puede ser positiva ó negativa, lo cuál se consigue añadiendo un doble signo y resolviendo indistintamente para cada uno.  (+ ) : x − 2 ≤ 2 : x ≤ 4 a. x − 2 ≤ 2 : ± (x − 2 ) ≤ 2 :  : x ∈ [0, 4] (− ) : − x + 2 ≤ 2 : − x ≤ 0 : x ≥ 0

b.

1 9  (+ ) : x + 2 = 5 : x = 2 1 1  x + = 5: ±x +  = 5:  1 11 11 2 2  (− ) : − x − = 5 : − x = : x = − 2 2 2 

c.

3  (+ ) : 2x + 3 ≥ 6 : x ≥ 2 9 3   2 x + 3 ≥ 6 : ± (2 x + 3) ≥ 6 :  : x ∈  − ∞, −  ∪  , + ∞  9 9 2 2   (− ) : −2 x − 3 ≥ 6 : − x ≥ : x ≤ − 2 2 

2. Expresar en forma de valor absoluto los siguientes intervalos: a. (−3, 5) b. (−∞, 2] ∪ [5, +∞) Solución. Para expresar un intervalo mediante valor absoluto, se busca el punto medio del intervalo y el radio del intervalo (diferencia en valor absoluto entre el punto medio y cualquiera de los extremos). −3 + 5 = 1 . Radio = 1 − 5 = 1 − (− 3) = 4 2 |x − 1| < 4

a.

(−3, 5) Punto medio =

b.

(−∞, 2] ∪ [5, +∞) Punto medio =

2+5 7 7 7 3 = . Radio = − 5 = − 2 = 2 2 2 2 2 x−

1

7 3 ≥ 2 2

Calcular: 2 54 3 16 + 3 2 − 3 3 8 3.

a. b.

2a 2b 1 − + b a 2ab

c.

(x + 2)3 −

d.

a 2 m − a 2 n + 4 (m − n )2 ·b 4 + 6 c 6 ·(m − n )3

4x + 8 − x 3 + 2x 2

b 0,18a a 18b 2 2a 2 a 3 ·c 4 2 c + + − 0,3 b 2 b a c 2 9c 2 0,125 Solución. Se factoriza los radicándoos en busca de un radical común ya que solo se puede sumar y restar radicales idénticos. Si es necesario se racionaliza para obtener el radical común.

e.

3

a.

16 +

23 54 3 4 2 3 2 ⋅ 33 3 2 3 2 3 2 − 3 3 = 2 ⋅ 2 3 + 3 2 − 3 2 = 23 2 + 3 2 − 3 2 = 2 −3 = 2 + 3 8 3 3 2 3 2 2 2 3 7  = 3 2 ⋅2 + −  = 3 2 3 2 6 

2a 2b 1 2a 2b 1 − + = − + = b a 2ab b a 2ab

b.

=

2ab b2

−

2ab a2

+

2ab

(2ab)2

=

2a ⋅ b b⋅ b

2b ⋅ a

−

a⋅ a

1 ⋅ 2ab

+

2ab ⋅ 2ab

2ab 2ab 2ab 1  2a − 2b + 1 1 1 − + = 2ab  − +  = 2ab b a 2ab 2ab  b a 2ab 

c.

(x + 2)3 − 4x + 8 − x 3 + 2x 2 = (x + 2)2 (x + 2) − 4(x + 2) − x 2 (x + 2) = = (x + 2 ) x + 2 − 2 x + 2 − x x + 2 = x + 2 (x + 2 − 2 − x ) = 0 x + 2 = 0

d.

a 2 m − a 2 n + 4 (m − n )2 ·b 4 + 6 c 6 ·(m − n )3 = a 2 (m − n ) + 4 (m − n )·b 2

(

= a m−n +

e.

(m − n )·b 2

= =

)

2

(

a 3 ·c 4 = 0,125

b 18a a 18b 2 2a 2 + + 2c 2 − 2 2 3 b a 100b c 9c 10

10b 2 ⋅ 3 2 a 2 ⋅ 32 b 2 2a 2 + + 2c − 2 2 3 10 2 b 2 9c a c

a 3 ·c 4 = 1 8

( )

2⋅ 22 a ⋅a 2 · c2

2

=

10b 3 2a 3 2 ⋅ a 2a 2 3 2a 4a + + 2c − 2 2ac 2 2a = 2a + + 2 2a − 2a = 3 10b c a 9 9c a⋅ a

4a  9a + 27 + 18a − 4a 2  3 =  1 + + 2 −  2a = 9  9a  a

2

2a =

27 + 27a − 4a 2 9a

)

+ 6 c 2 ·(m − n )

+ c 2 ·(m − n ) = a m − n + b m − n + c m − n = (a + b + c ) m − n

2a 2 b 0,18a a 18b 2 + + 2c 2 − 2 2 0,3 b b a c 9c =

=

2a

3

=

Calcular:

4. a.

3

b.

3 3

c.

3

2 3:

2 b

3

4

1 3 3 3 b 2

Solución. Para introducir un factor dentro de un radical, se eleva el factor al índice del radical. 3

a.

2 3:

b.

3 3

c.

3

2 b

5.

3

4 =

3

2 3 3

3

=

4

1 3 3 =3 3 3

1 3

2

22 ⋅3 2×3

4

=

3×2 6

12 4

6

12

6

4

=6

12 6 = 3 4

⋅ 3 3 = 3 32×2 3 = 3 34 3 = 3

2

b 3  2  b 3×2 2 2 ⋅ b 6 2 = = = =   2 b b2 ⋅2 b 2

Racionalizar:

=

6

2

6

b

=

4

6

6

2 ⋅ b5

6

b ⋅ 6 b5

3 4 ⋅ 3 = 32×4 3 5 = 38 3 5

=

6

2 ⋅ b5 6

b6

=

6

2 ⋅ b5 b

3+2 2 3− 2

Solución.

(

)

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 2 3 + 2 .

( 3 + 2)⋅ (2 3 + 2 ) = (2 3 − 2 )⋅ (2 3 + 2 ) =

6.

Racionalizar:

3 ⋅2 3 + 3 ⋅ 2 + 2⋅2 3 + 2 2

(2 3 ) − ( 2 ) 2

2

2 9 + 6 +4 3+2 2 = 4⋅3− 2

=

2⋅3+ 6 + 4 3 + 2 2 6 + 6 + 4 3 + 2 2 = 10 10

3 6 +2 2 3 2 +2

Solución.

(

)

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 3 2 − 2 . 3 6 +2 2 3 2 +2 =

=

(3 6 + 2 2 )⋅ (3 2 − 2) = 3 (3 2 + 2)⋅ (3 2 − 2)

6 ⋅3 2 − 3 6 ⋅ 2 + 2 2 ⋅3 2 − 2 2 ⋅ 2

(3 2 )

2

− 22

=

9 12 − 6 6 + 6 4 − 4 2 9 2 2 ⋅ 3 − 6 6 + 6 2 2 − 4 2 9 ⋅ 2 3 − 6 6 + 6 ⋅ 2 − 4 2 = = = 9⋅2 − 4 18 − 4 14 =

7.

(

)

18 3 − 6 6 + 12 − 4 2 2 9 3 − 3 6 + 6 − 2 2 6−2 2 −3 6 +9 3 = = 14 14 7

Racionalizar:

3 2 +2 3 3 2 −2 3

Solución.

( ) (3 2 + 2 3 ) = (3 2 ) + 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 3 + (2 3 ) 3) = 3 ) (3 2 ) − (2 3 ) 3 ( 2) − 2 ( 3)

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 3 2 + 2 . 3 2 +2 3 3 2 −2 3

=

(3 (3

)( 3 )⋅ (3

2 +2 3 ⋅ 3 2 +2 2 −2

2 +2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

=

32

=

8.

( 2)

2

+ 12 2 ⋅ 3 + 2 2 9⋅2 − 4⋅3

( 3)

2

=

(

2 3− 2

Racionalizar:

18

Solución.

Se multiplica y divide por el denominador 2 3− 2 18

=

(2

)

3 − 2 ⋅ 18

9.

=

18 ⋅ 18

2 3 ⋅ 18 − 2 ⋅ 18

( 18 )

2

Se multiplica y divide por el denominador 12

2 3 ⋅18 − 2 ⋅18 2 54 − 36 = = 18 18

(

)

(2

6 −1 3

12

Solución.

=

=

2 3+ 2

Racionalizar:

2 3+ 2

( 18 ) .

2 2 ⋅ 33 − 6 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 − 6 6 6 − 6 6 ⋅ 6 − 1 = = = = 18 18 18 18

=

)

9 ⋅ 2 + 12 6 + 4 ⋅ 3 30 + 12 6 6 ⋅ 5 + 2 6 = = = 5+ 2 6 18 − 12 6 6

)

3 + 2 ⋅ 12

=

12 ⋅ 12 =

( 12 ) .

2 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ 12

( 12 )

2

3

=

2 3 ⋅12 + 2 ⋅12 2 36 + 24 = = 12 12

(

)

2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 12 + 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 + 6 6+ 6 = = = 12 12 12 6 3 6 +2 2

10. Racionalizar:

3 3+2

Solución.

(

)

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 3 2 − 2 . 3 6 +2 2

=

3 3+2 =

(3 6 + 2 2 )⋅ (3 3 − 2) = 3 (3 3 + 2)⋅ (3 3 − 2)

9 6⋅3 − 6 6 + 6 2⋅3 − 4 2 32 ⋅

( 3)

2

=

−4

(3 3 )

2

− 22

=

9 18 − 6 6 + 6 6 − 4 2 9 2 ⋅ 3 2 − 4 2 = = 9⋅3− 4 27 − 4

9 ⋅ 3 2 − 4 2 27 2 − 4 2 23 2 = = = 2 23 23 23

11

11. Racionalizar:

=

6 ⋅3 3 − 3 6 ⋅ 2 + 2 2 ⋅3 3 − 2⋅ 2 2

+

1− 5

2 5 + 4 3+ 5 Solución. Primero se racionaliza y luego se suma. Para racionalizar se multiplica y divide cada fracción por el conjugado del denominador. 11 2 5 +4

=

+

1− 5 3+ 5

=

(

(1 − 5 )⋅ (3 − 5 ) 11⋅ 2 5 − 11⋅ 4 1⋅ 3 − 1⋅ 5 − 5 ⋅ 3 + ( 5 ) (2 5 + 4)⋅ (2 5 − 4) (3 + 5 )⋅ (3 − 5 ) = (2 5 ) − 4 + 3 − ( 5) 11 ⋅ 2 5 − 4

22 5 − 44 22 ⋅

( 5)

2

− 16

+

=

)

2

+

2

2

2

2

3 − 5 − 3 5 + 5 22 5 − 44 3 − 5 − 3 5 + 5 22 5 − 44 8 − 4 5 + = + = = 9−5 4 ⋅ 5 − 16 4 4 4

(

)

(

)

22 5 − 44 + 8 − 4 5 18 5 − 36 18 ⋅ 5 − 1 9 ⋅ 5 − 1 = = = 4 4 4 2

4

=

3

12. Opera y simplifica:

2

−

3− 2 3+ 2 Solución. En este caso, los denominadores de las fracciones son conjugados entre si, por lo tanto, si se suman las fracciones se eliminan los radicales del denominador y la expresión queda racionalizada. 3 2 3⋅ 3 + 2 − 2 ⋅ 3 − 2 3 3 +3 2 −2 3 +2 2 3 +5 2 = = = 3 +5 2 − = 2 2 3−2 3− 2 3+ 2 3− 2 ⋅ 3+ 2 3 − 2

( (

) ( )(

)

7− 5

13. Opera y simplifica:

)

( ) ( )

7+ 5

−

7+ 5 7− 5 Al igual que en el anterior, los denominadores de las fracciones son conjugados entre si, por lo tanto, si se suman las fracciones se eliminan los radicales del denominador y la expresión queda racionalizada. 7− 5

−

7+ 5

( 7)

2

=

( 7 − 5 )⋅ ( 7 − 5 )− ( 7 + 5 )⋅ ( 7 + 5 ) = ( 7 − 5 ) − ( 7 + 5 ) = ( 7 + 5 )⋅ ( 7 − 5 ) 5 ( 7 ) − ( 5) 5 + ( 5 ) −  ( 7 ) + 2 7 5 + ( 5 )    7 − 2 7 ⋅ 5 + 5 − (7 + 2 7 ⋅ 5 + 5) − 4

7+ 5 7−

2

=

2

2

−2 7

2

2

2

2

=

7−5

=

2

35 2

= −2 35

1

14. Opera y simplifica:

3

1−

1

+

3

1+

1+ 3 1− 3 Solución. Primero se operan los denominadores: 1 1 1 1+ 3 1− 3 1 + = + = + = 3 1⋅ 1 + 3 − 3 1⋅ 1 − 3 + 3 1 + 3 − 3 1 − 3 + 3 3 1− 1+ 1+ 3 1− 3 1+ 3 1− 3

(

=

)

(

)

1+ 3 1− 3 + = 1+ 3 +1− 3 = 2 1 1

a+ b

15. Racionalizar:

a− b

Solución.

( a + b ). 2 ( ( b) a + b) a) +2 a b +( b) a + 2 ab + b = = = 2 2 a−b a−b b) ( a ) −( b)

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador a+ b a− b

=

( a + b )⋅ ( a + ( a − b )⋅ ( a +

2

2

x+y

16. Racionalizar:

x+ y

Solución.

(

Se multiplica y divide por el conjugado del denominador x+y x+ y

=

(

(x + y )⋅ (

x− y

)(

x+ y ⋅

)

x− y

=

(x + y )⋅ (

x− y

) ( x) −( y) 2

5

2

)

x− y .

) = (x + y)⋅ (

x− y

x−y

)

=

a+ b

17. Racionalizar y simplificar: Solución. a+ b b a −a b

=

(

(b

b a −a b

)( b )⋅ (b

a + b ⋅ b a +a b a −a

a +a b

ab + (a + b ) ab + ab 2

)

2

ab − a b

6

)

=

=

b a 2 + a ab + b ab + a b 2

(b a ) − (a b ) 2

2ab + (a + b ) ab ab(b − a )

2

=