LÍMITE Introducción Para dar una idea intuitiva del límite analizaremos las siguientes gráficas y para ello veremos qué pasa con los valores de cada función cuando me aproximo a un determinado valor x0:
Observamos que cuando x se acerca a x0 tanto por izquierda como por derecha pero sin tomar el valor x0 (en las 3 primeras gráficas) los valores de la función se acercan un cierto número finito que designaremos
l.
Se suele decir f (x) → Se suele expresar
l
cuando x → x0
lim f ( x ) xx
l
0
Analicemos otras gráficas
observemos que los valores de la función no se aproximan a un único
l
(finito) cuando x → x0 por lo que
el límite no existe.
Analicemos el valor de la función
lim x 1
x 1 x2 1
La función no está definida para x = 1 pero eso no importa porque vamos a tomar valores de x próximos a 1 pero diferentes de él para ver cómo se comportan los valores de la función en las proximidades de x = 1. Para ello vamos a construir la siguiente tabla calculando las imágenes de los valores de x muy próximos a 1.
x f (x)
0,99 0,5025
0,999 0,5002
0,9999 0,5000
… …
1
… …
1,0001 0,4999
1,001 0,4997
1,01 0,4975
Observemos que cuando x se aproxima a 1 tanto por izquierda como por derecha la función tiende a 0,5 o lo que es lo mismo, los valores de la función están próximos a 0,5 cuando x es suficientemente cercano a 1. Todo esto puede expresarse de la siguiente manera: “el límite de la función f (x) es 0,5 cuando x tiende a 1”. Simbólicamente:
lim x 1
x 1 x2 1
0,5
Definición de límite Sean x0 y l números reales. Se dice que
lim f ( x ) xx
l
Ɛ > 0, Ǝ > 0 / f(x) l < Ɛ cuando 0 < x x <
0
0
(esta definición establece que los valores de la función y = f (x) se aproximan al límite
l
cuando x se
acerca a x0 si el valor absoluto de la diferencia entre f (x) y l puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de x0 pero no igual a x0). Explicar entorno y entorno reducido. Los números Ɛ y son números reales positivos (arbitrarios) pequeños.
Interpretación gráfica Sea la gráfica de la función y = f (x).
Se toma el entorno con centro l y radio Ɛ y se trazan las rectas y = l + Ɛ e y = l – Ɛ, observemos que ellas cortan a la gráfica de la función en dos puntos. Si por ellos trazo las paralelas al eje oy vemos que
queda determinado un entorno reducido en el eje ox con centro en x0. Todos los puntos de la gráfica encerrados entre los puntos serán imágenes de los valores de x que se encuentran en el entorno de x0. La gráfica queda encerrada por estas cuatro rectas y = l + Ɛ ; y = l – Ɛ ; x0 – y x0 + , cuando esto ocurre puede decirse que el límite de la función es l. Ejemplo
3 lim x 2 5 observemos que si le damos a x un valor muy próximo a 2 la x 2 2
Demuestre que
función toma el valor 5. Vamos a probar que:
3 3 lim x 2 5 Ɛ > 0, Ǝ > 0 / x 2 5 < Ɛ cuando 0 < x 2 < x 2 2 2 Prefijemos un Ɛ = 0,01 debemos encontrar un > 0 tal
3 x 2 5 < 0,01 cuando 0 < x 2 < 2 3 x 2 5 < 0,01 2 3 x 3 < 0,01 2
3 ( x 2) < 0,01 2 3 2
x 2 < 0,01
3 x 2 < 0,01 2
x 2 < 0,01.
2 3
x 2 < 0,0007 bastará entonces tomar = 0,0007, más aún si tomamos < 0,0007 con mayor razón los valores de x próximos a 2 serán tales que los correspondientes valores de y serán próximos a 5.
