UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBADE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2016-2017 (JUNIO) MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Calificación: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.

OPCIÓN A Problema 1.- (Calificación máxima: 2 puntos) Considérense las matrices:

1 2 − k 1 1 1     A =  1 − 2 1  y B = 0 2 2 k 2 −1  0 0 3     a) Discútase para qué valores del parámetro real k la matriz A tiene matriz inversa. b) Determínese para k = 0 la matriz X que verifica la ecuación A ·X = B. Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. 1 2 −k det A = 1 − 2 1 = 2 + 2k − 2k − 2k 2 − 2 + 2 = 2 − 2k 2 = 2 1 − k 2 k 2 −1

(

(

)

(

)

)

A = 0 : 2 1 − k 2 = 0 : 1 − k 2 = 0 : k = ± 1 = ±1 Para cualquier valor de k distinto de ±1, el determinante de A es distinto de cero y por tanto la matriz A tiene inversa b. Para resolver la ecuación A ·X = B se despeja la matriz X teniendo en cuenta las siguientes propiedades del producto de matrices: • El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad. • La matriz identidad es el elemento neutro del producto de matrices. • El producto de matrices no es conmutativo, y por tanto, para obtener una ecuación equivalente se debe multiplicar los dos miembros de la ecuación por la misma matriz y en el mismo orden. Teniendo en cuenta estas propiedades, para despejar la matriz X se multiplica los dos miembros de la ecuación por la inversa de A por la izquierda.

A⋅X = B

;

A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B

;

I ⋅ X = A −1 ⋅ B

;

X = A −1 ⋅ B

Inversa de A para k = 0

A −1 =

1 (adj A )t A

 −2 1 1 1 1 −2 +  − + 0 −1 0 2   2 −1 2  0 1  2 0 k =0  1 0 1 2   2   A = 21− 0 = 2 adj A = − + − = 2 −1 − 2 2 − 1 0 − 1 0 2    2 1 − 4   2 0 1 0 1 2   +  − +  −2 1 1 1 1 − 2   2  2  0 2 0 2   t  −1 1  (adj A ) =  1 − 1 − 1  A = 1 −1 −1 2  2 − 2 − 4     2 − 2 − 4

(

)

1

X=A

−1

2  1 1 1 10   0 2 5  0 2 0 4    1    1 ⋅ B =  1 − 1 − 1  ⋅  0 2 2  =  1 − 1 − 4  = 1 2 − 1 2 − 2  2    2  2 − 2 − 14   1 − 1 − 7   2 − 2 − 4  0 0 3   

Problema 2.- (Calificación máxima: 2 puntos) Considérese la región del plano S definida por:

{

}

S = (x, y ) ∈ R 2 : x + y ≥ 6 ; 5x − 2y ≥ −2 ; x + 3y ≤ 20 ; 2x − y ≤ 12 , a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices. b) Determínense los puntos en los que la función f (x, y) = 4x ‒ 3y alcanza sus valores máximo y mínimo en S, indicando el valor de f (x, y) en dichos puntos. Solución. a. Las inecuaciones se transforman en ecuaciones y se dibujan las rectas que representan Se selecciona la región factible usando como punto de prueba el P(0,0): P (0, 0 )

x + 6y ≥ 6

  → P (0, 0 )

0 + 6⋅0 ≥ 6

0≥6

5x − 2 y ≥ −2   → 5 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 ≥ −2 0 ≥ −2 P (0, 0 )

No se cumple Se cumple

x + 3y ≤ 20

  →

0 + 3 ⋅ 0 ≤ 20

0 ≤ 20

Se cumple

2x − y ≤ 12

  →

2 ⋅ 0 − 0 ≤ 12

0 ≤ 12

Se cumple

y 1 0 4 6

F(x, y) ‒3 24 20 ‒10

P (0, 0 )

Optimación: x 0 6 8 2

A B C D

Cumpliendo las restricciones propuestas, la función alcanza un valor MINIMO de ‒10 en el punto D(2, 6), y un valor MAXIMO de 24 en el punto B(6, 0).

Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos) a) Determínese el valor de la derivada de la función f (x ) = b) Estúdiense las asíntotas de la función f (x ) =

x3

ex en el punto de abscisa x = 0. 1+ x

.

1− x2

Solución. a.

f ′(x ) =

e x ⋅ (1 + x ) − e x ⋅ 1

(1 + x )2

=

e x ⋅ (1 + x − 1)

(1 + x )2 f ′(0) =

b.

=

x ex

(1 + x )2

0 ⋅ e0 2

(1 + 0)

=

0 ⋅1 2

1

=

0 =0 1

Asíntotas verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {± 1} x = −1: Lím

x3

x → −1 1 − x 2

=

(− 1)3 1 − (− 1)2

=

−1 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = ‒1.

(− 1)3 x3 −1 −1 = = = = +∞ − − − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x → −1 1 + − 1 ⋅ (1 − (− 1)) 0 ⋅ 2 0 − Lím

( ( )) 2

(− 1)3 x3 −1 −1 = = = = −∞ + + + (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x → −1 1 + − 1 ⋅ (1 − (− 1)) 0 ⋅ 2 0 + Lím

( ( ))

x = 1: Lím

x3

x →1 1 − x

=

2

13 1 −1

1 Asíntota vertical. 0

=

2

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1.

Lím

x →1−

x3 13 1 1 = = = = +∞ − + (1 + x ) ⋅ (1 − x ) (1 + 1) ⋅ 1 − 1 2⋅0 0+

(

3

Lím

+

x →1

-

)

3

x 1 1 1 = = = = −∞ + − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) (1 + 1) ⋅ 1 − 1 2⋅0 0−

(

)

Horizontales: y = L:

L = Lím f (x ) = Lím x →± ∞

∞

x3

x →± ∞ 1 − x

2

x

∞

= Lím

1

÷x 2 x →± ∞

x

2

(± ∞ )3

= −1

1

=

− −1

(± ∞ )2

±∞ = ±∞ 0 −1

La función no tiene asíntotas horizontales -

Oblicuas: y = mx + n

x3

∞

2 ∞ f (x ) x3 1 m = Lím = Lím 1 − x = Lím = Lím 3 3 x x → ±∞ x x → ±∞ x → ±∞ x − x ÷ x x → ±∞ 1

x

2

= −1

1 1

(± ∞ )2

1 = −1 0 −1

= −1

1 ∞  x3   x3  ∞ x x = n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  − (− 1) ⋅ x  = Lím  + x  = Lím = Lím  x →±∞ 1 − x 2  x →±∞ 1 − x 2 ÷ x 2 x →±∞ 1 x → ±∞ x →±∞ 1 − x 2     −1 x2 1 0 ±∞ = = =0 1 0 −1 −1 (± ∞ )2 Asíntota oblicua y = −x Posición relativa.

m = Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím x → ±∞

• •

x3 2

− (− x ) = Lím

x3 + x − x3 2

= Lím

x 2

x → ±∞ 1 − x x → ±∞ x → ±∞ 1 − x 1− x 1 1 1 Lím = = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. − (− ∞ ) + ∞ x →− ∞ − x 1 1 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. −∞ x →+ ∞ − x

1 − x → ±∞ x

≈ Lím

Nota: La posición relativa, en principio, no seria necesaria estudiarla ya que ni se pide en el enunciado ni se pide representar la función.

3

Problema 4.- (Calificación máxima: 2 puntos) Una empresa de reparto de paquetería clasifica sus furgonetas en función de su antigüedad. El 25% de sus furgonetas tiene menos de dos años de antigüedad, el 40% tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y el resto tiene una antigüedad superior a cuatro años. La probabilidad de que una furgoneta se estropee es 0’01 si tiene una antigüedad inferior a dos años; 0’05 si tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y 0’12 si tiene una antigüedad superior a cuatro años. Se escoge una furgoneta al azar de esta empresa. Calcúlese la probabilidad de que la furgoneta escogida: a) Se estropee. b) Tenga una antigüedad superior a cuatro años sabiendo que no se ha estropeado. Solución. SUCESOS: A ≡ furgoneta con menos de dos años de antigüedad B ≡ furgoneta entre dos y cuatro años de antigüedad C ≡ furgoneta con mas de cuatro años de antigüedad E ≡ la furgoneta se estropea DATOS:

p(A ) = 0,25 ; p(B) = 0,40 ; p(C ) = 0,35 p(E A ) = 0,01 ; p(E B) = 0,05 ; p(E C ) = 0,12

El problema se puede representar mediante el diagrama en árbol adjunto a.

p(E ) = p((A ∩ E ) ∪ (B ∩ E ) ∪ (C ∩ E ))

sucesos incompatibles

=

p(A ∩ E ) + p(B ∩ E ) + p(C ∩ E )

sucesos dependientes

=

= p(A ) ⋅ p(E A ) + p(B) ⋅ p(E B) + p(C ) ⋅ p(E C ) = 0,25 ⋅ 0,01 + 0,40 ⋅ 0,05 + 0,35 ⋅ 0,12 = 0,0645 p(E ) = 6,45%

b.

p(C E )

Teorema de Bayes

=

p(C ∩ E ) p(C ) ⋅ p(E C ) p(C ) ⋅ (1 − p(E C )) 0,35 ⋅ (1 − 0,12) = = = = 0,3292 p(E ) p(E ) 1 − p(E ) 1 − 0,0645 p(C E ) = 32,92%

Problema 5.- (Calificación máxima: 2 puntos) El peso en canal, en kilogramos (kg), de una raza de corderos a las seis semanas de su nacimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica igual a 0’9 kg. a) Se tomó una muestra aleatoria simple de 324 corderos y el peso medio observado fue x = 7'8 kg .Obténgase un intervalo de confianza con un nivel del 99’2% para µ. b) Determínese el tamaño mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple de la variable para que el correspondiente intervalo de confianza para µ al 95% tenga una amplitud a lo sumo de 0’2 kg. Solución. a. x ≡ Peso en canal de una raza de corderos a las seis semanas en kg. Variable aleatoria continua con distribución Normal. x : N (µ, σ ) µ = ? ; σ = 0,9 kg Para una muestra aleatoria de 324 corderos(n = 324), se ha obtenido un valor medio x = 7'8 kg , la variable media muestral también sigue una distribución normal.   σ  0,9   = N(µ, 0,05)  = N µ, x : N µ, n 324   

4

El intervalo de confianza para la media poblacional (µ) a partir de una media muestral (x ) viene dado por la expresión:  σ σ   x − z α 2 ⋅  , x + zα 2 ⋅ n n  El valor z α 2 se obtiene a partir del nivel de confianza.

  α = φ −1 1 −    : zα 2   1 − α = Nivel de confianza = 0,992 zα

2

2

 0,008  −1 = φ −1 1 −  = φ (0,9960) = 2,65 2  

Sustituyendo en la expresión del intervalo:  0,9 0,9   = (7'67, 7'93) µ ∈  7'8 − 2'65 ⋅ , 7'8 + 2'65 ⋅ 324 324   Con una probabilidad del 99,2% se puede estimar que la media poblacional estará en el intervalo calculado.

b.

El tamaño muestral se calcula a partir del error máximo admitido. 2

σ  ⇒ n =  zα 2 ⋅  ε n  El error máximo admitido se relaciona con la amplitud máxima Amplitud de intervalo 0'2 Amplitud de intervalo = 2ε ⇒ ε = = = 0'1 kg 2 2 El valor de z α 2 se obtiene del nivel de confianza: ε = zα 2 ⋅

σ

  α 0'05  = φ −1 1 −   −1  −1  = φ (0'9750) = 1'96  : z α 2 = φ 1 − 2   2    1 − α = Nivel de confianza = 0'95 Sustituyendo los valores en la expresión, se calcula el tamaño de la muestra. zα

2

2

0'9   n > 1,96 ⋅  = 311'17 0'1   n ≥ 312

5

OPCIÓN B Problema 1.- (Calificación máxima: 2 puntos) Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a: x − ay + 2z = 0   = ax − 4 y − 4z = 0  (2 − a )x + 3y − 2z = 0  a) Discútase en función de los valores del parámetro a. b) Resuélvase para a = 3. Solución. a. Sistema homogéneo.  A ≠ 0 Determinado. Solución trivial (x = y = z = 0) A = A* ⇒ rg A = rg A ⇒ ∀ a∈R Sistema compatible:   A = 0 Indeterminado. Infinitas soluciones 1 −a 2

det A =

(

)

(

a − 4 − 4 = 8 + 8a − 4a 2 + 6a − − 16 + 8a + 2a 2 − 12 = −6a 2 + 6a + 36 = −6 a 2 − a − 6 2−a 3 −2

)

a = −2 A = 0 : a2 − a − 6 = 0 :  a = 3 Discusión: i. Si a ≠ ‒2, 3. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Solución trivial. ii.

iii.

2 2   1   Si a = ‒2. A = 0 ⇒ rg A = rg A* < 3. A =  − 2 − 4 − 4  Se busca un menor de orden 2 distinto  4 3 − 2   1 2 de cero = 3 − 8 = −5 ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado. 4 3

 1 −3 2    Si a = 3. A = 0 ⇒ rg A = rg A* < 3. A =  3 − 4 − 4  Se busca un menor de orden 2 distinto de  − 1 3 − 2   1 −3 cero = −4 − (− 9) = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado. 3 −4

b. Para a = 3, por ser un sistema compatible indeterminado de rango 2, tiene dos ecuaciones independientes. Teniendo en cuenta el menor utilizado en el apartado anterior para definir el rango del sistema, las ecuaciones linealmente independientes son la 1ª y 2ª por ser las que contienen al menor utilizado.  x − 3y + 2z = 0  3x − 4 y − 4z = 0 Para resolver el sistema se toma una de las variables como parámetro, para asegurar la solución, se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 que asigno el rango al sistema, la z.  x − 3 y + 2 z = 0 z = λ  x − 3 y = −2 λ  x = 3y − 2λ  → Por sustitución  ; {3 ⋅ (3y − 2λ ) − 4 y = 4λ  3x − 4 y − 4z = 0 3x − 4 y = 4λ 3x − 4 y = 4λ

9 y − 6λ − 4 y = 4λ ; 5y = 10λ : y = 2λ ; x = 3 ⋅ (2λ ) − 2λ = 4λ Solución: (4λ, 2λ, λ ) ∀ λ ∈ R

6

Problema 2.- (Calificación máxima: 2 puntos) Considérese la función real de variable real:

f (x ) = x 3 − 3x f (x ) f (x ) a) a) Calcúlense Lím y Lím . 3 x → −∞ 1 − x x→ 0 x b) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x). Solución. ∞ x 3 3x 3 3   − 3 1− 2 1− 2 3 ∞   3 f (x ) x − 3x x = Lím x = ∞ = 1 − 0 = −1 Lím a. = Lím = Lím x 3 3 3 3 1 1 x → −∞ 1 − x x → −∞ 1 − x x → −∞ ÷ x x → −∞ 1 x −1 −1 0 −1 − 3 3 x ∞ x3 x3 3

0   0

(

)

f (x ) x − 3x x ⋅ x2 − 3 = Lím = Lím = Lím x 2 − 3 = 0 2 − 3 = −3 x x x →0 x x →0 x →0 x →0 Lím

b.

(

)

Si f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) creciente La monotonía de una función se asocia al signo de la primera derivada:  Si f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) decreciente Si x ∈ (− ∞, − 1) f ′(x ) > 0 f (x ) creciente  2 f ′(x ) = 3x − 3 = 3 (x + 1)(x − 1) ; Si x ∈ (− 1, 1) f ′(x ) < 0 f (x ) decreciente Si x ∈ (1, − ∞ ) f ′(x ) > 0 f (x ) creciente 

Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera la función real de variable real:

 2 si x ≤ 0  f (x ) =  x + 2   x + 2 si x > 0 a) Estúdiese la continuidad de f (x) en R. b) Calcúlese

0

∫−1 f (x ) dx .

Solución. a. La continuidad de una función se estudia en los puntos excluidos del dominio y en los puntos frontera en el caso de funciones por intervalos. • D[f (x )] = R − {− 2} • Punto frontera x = 0 Estudio de la continuidad en x = ‒2: 2 2 - f (− 2 ) = = ∉ R ⇒ ∃ No existe f (− 2) −2+2 0  2 2 2  = = − = −∞  Lím  − − 2 2  x → −2 x + 2 − 2 + 2 0  - Lím f (x ) = Lím = :  : Lím − f (x ) ≠ Lím + f (x ) 2 2 2 0  Lím x → −2 x → −2 x + 2 x → −2  x → −2 = = = +∞  x → −2 + x + 2 − 2 + + 2 0 + No existe Lím f (x ) x → −2

En x = ‒2, la función presenta una discontinuidad no evitable de salto infinito Estudio de la continuidad en x = 0: 2 =1 - f (0 ) = 0+2

7

 2 2   Lím− f (x ) = Lím x + 2 = 0 + 2 = 1  x →0 - Lím f (x ) =  x → 0  : Lím− f (x ) ≠ Lím+ f (x ) ⇒ No existe Lím f (x ) x →0 x →0 x →0  Lím+ f (x ) = Lím (x + 2) = 0 + 2 = 2 x →0 x →0  x → 0 En x = 0, la función presenta una discontinuidad no evitable de salto finito.

 f ′(x )   f (x ) dx = Ln f (x ) + C  0 0 0 1 2   0 f (x ) dx = dx =2 ⋅ dx =  f (x ) = x + 2  = (2 ⋅ Ln x + 2 −1 = −1 −1 x + 2 −1 x + 2   f ′(x ) = 1    

∫

b.

∫

∫

]

∫

= 2 ⋅ Ln 0 + 2 − 2 ⋅ Ln − 1 + 2 = 2 ⋅ Ln 2 − 2 ⋅ Ln 1 = 2 ⋅ Ln 2 = Ln 22 = Ln 4

Problema 4.- (Calificación máxima: 2 puntos) El 30% de los individuos de una determinada población son jóvenes. Si una persona es joven, la probabilidad de que lea prensa al menos una vez por semana es 0’20. Si una persona lee prensa al menos una vez por semana, la probabilidad de que no sea joven es 0’9. Se escoge una persona al azar. Calcúlese la probabilidad de que esa persona: a) No lea prensa al menos una vez por semana. b) No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven. Solución. Sucesos: A ≡ Ser joven B ≡ Leer la prensa al menos una vez por semana. Datos: p(A ) = 0,30

(

p(B A ) = 0,20

)

p A B = 0,9

Para poder resolver los apartados del problema, se necesita calcular las probabilidades de B y de la intersección de A y B. Intersección de A y B. Partiendo del dato de p(B A ) y aplicando el teorema de Bayes, se calcula la intersección. * p(B ∩ A ) p(B A ) = p(B ∩ A ) = p(A ∩ B) = p(A ) ⋅ p(B A ) = 0,3 ⋅ 0,2 = 0,06 p(A ) * La intersección de sucesos es conmutativa El calculo de la probabilidad de B se puede hacer de dos formas, teniendo en cuenta que los sucesos A B y A B son complementarios, y conocida la p(B A ) mediante el teorema de Bayes se calcula p(B) , o se

(

)

(

)

hace partiendo de p A B y aplicando el teorema de Bayes y la definición del suceso “solo B” A ∩ B . De la primera forma: Por ser sucesos complementarios p A B + p(A B) = 1 ⇒ p(A B) = 1 − p A B = 1 − 0,9 = 0,1

(

)

Aplicando el teorema de Bayes p(A B) = De la segunda forma. p A∩B pA B = p(B)

(

) (

)

(

p(B) =

)

(

(

p(A ∩ B) 0,06 p(A ∩ B) ; p(B) = = = 0,6 p(A B) 0,1 p(B)

)

p A ∩ B p(B) − p(A ∩ B) = pA B pA B

(

p(B) − p(B) ⋅ p A B = p(A ∩ B)

)

(

(

)

(

))

(

)

p(B) ⋅ p A B = p(B) − p(A ∩ B)

p(B) ⋅ 1 − p A B = p(A ∩ B) p(B) =

a.

)

p(B) =

0,06 = 0,6 1 − 0,9

No lea prensa al menos una vez por semana: p(B ) = 1 − p(B) = 1 − 0,6 = 0,4 = 40%

8

p(A ∩ B) 1− p A B

(

)

b.

(

No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven. p B ∪ A

)

Leyes de Morgan

=

(

)

p B∩A =

= 1 − p(B ∩ A ) = 1 − p(A ∩ B) = 1 − 0,06 = 0,94 = 94%

Problema 5.- (Calificación máxima: 2 puntos) El peso en toneladas (T) de los contenedores de un barco de carga se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media µ y desviación típica σ = 3T. Se toma una muestra aleatoria simple de 484 contenedores. a) Si la media de la muestra es x = 25'9 T , obténgase un intervalo de confianza con un nivel del 90% para µ. b) Supóngase ahora que µ = 23 T . Calcúlese la probabilidad de que puedan transportarse en un barco cuya capacidad máxima es de 11000T. Solución. a. x ≡ Peso en toneladas de los contenedores de un barco. Variable aleatoria continua con distribución Normal. x : N (µ, σ ) µ = ? ; σ = 3T Para una muestra aleatoria de 484 contenedores(n = 324), se ha obtenido un valor medio x = 25'9 T , la variable media muestral también sigue una distribución normal.   σ  3   3   = N µ,   = N µ, x : N µ, n 484   22    El intervalo de confianza para la media poblacional (µ) a partir de una media muestral (x ) viene dado por la expresión:  σ σ   x − z α 2 ⋅  , x + zα 2 ⋅ n n  El valor z α 2 se obtiene a partir del nivel de confianza.

  α = φ −11 −    : zα 2   1 − α = Nivel de confianza = 0,90 zα

2

2

 0'1  = φ −1 1 −  = φ −1 (0'9500) = 1'645 2  

Sustituyendo en la expresión del intervalo: 3 3   µ ∈  25'9 − 1'645 ⋅ , 25'9 + 1'645 ⋅  = (25'68, 26'12) 22 22   Con una probabilidad del 90% se puede estimar que la media poblacional del peso de los contenedores estará en el intervalo calculado.

b.

Para que el barco pueda transportar la carga, el peso medio de los contenedores deberá ser igual o menor 11000 a kg , por lo tanto, se pide calcular la probabilidad de que el peso medio de los contenedores sea igual o 484 inferior a ese valor. Si la variable peso de los contenedores sigue una distribución normal caracterizada por x : N(23, 0'9) , para muestras de 484 estos elementos, las medias muestrales también siguen una distribución Normal  0'9  0'9    = N 23, caracterizada por x : N 23, . 22  484   

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 11000  Tipificar  11000  p x ≤ =  x = 484 484 3   N  23,   x  22   =

por complementario

(

11000  − 23  484 z= = −2,00 = p(z ≤ −2,00) = p(z ≥ 2,00) = 3 por  simetria  22 

)

p z < 2,00 = 1 − p(z < 2,00) = 1 − 0,9772 = 0,0228

La probabilidad de que el barco pueda transportar los 484 contenedores es del 2,28%.

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