log k = vi. gf g. Log f. Log a a. = ⇔. = Ejemplo 4. Calcular. 243. 1. 3 log. Aplicando la definición de logaritmo. 243. 1. 3 x. 243. 1 log x. 3. = ⇔. = se convierte el ...
EXPONENCIALES Propiedades de las operaciones con exponenciales i.
a0 = 1 ∀ a ≠ 0
ii.
a f ⋅ a g = a f +g af
iii.
a
g
= a f −g
(a )
f g
iv.
1
v.
a
f
= a f ⋅g
= a −f
a f ⋅ b f = (a ⋅ b )f
vi.
af
a = f b b
vii.
g
viii.
af = a
f
f
g
af = ag ⇔ f = g
ix.
Para resolver ecuaciones exponenciales se puede operar de tres formas diferentes: I.
Ecuaciones en las que los dos miembros se pueden expresar como exponenciales con igual base. Se resuelven igualando los exponentes según la propiedad ix.
Ejemplo 1. 9 ⋅ 3 2 x +5 =
27
9 x +3 Se expresa todo en base 3 y operando según las propiedades: 2
3 ⋅3
2 x +5
=
33
(3 ) 2
x +3
; 3
2x +7
=
3
3
33 2 (x + 3 ) 33
; 3
2x +7
=3
3−
2 (x + 3 ) 3
Teniendo en cuenta que a igualdad de bases, igualdad de exponentes(prop. x) 3
2x +7
=3
3−
2 (x + 3 ) 3
⇔ 2x + 7 = 3 −
2 (x + 3) 3
resolviendo la ecuación de primer grado: x=− II.
9 4
Ecuaciones exponenciales que se transforman en ecuaciones de segundo grado
Ejemplo 2. 9 x +1 − 28 ⋅ 3 x + 81 = 0 teniendo en cuenta que:
( )
9 x +1 = 3 2 sustituyendo en la ecuación
x +1
( )
= 3 2(x +1) = 3 2 x + 2 = 3 2 x ⋅ 3 2 = 9 ⋅ 3 x 2 = 9 ⋅ 3 x
( )
9 ⋅ 3x
2
2
− 28 ⋅ 3 x + 81 = 0
haciendo el cambio 3 x = z , la ecuación exponencial se convierte en una de segundo grado
9 ⋅ z 2 − 28 ⋅ z + 81 = 0 resolviendo la ecuación de segundo grado z=
− (− 28) ±
(− 28)2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 3 2⋅9
=
28 ± 26 z = 3 1 : z = = 3 −2 18 9
teniendo en cuenta el cambio de variable: z = 31 = 3 x ⇒ x = 1 z = 3x : z = 3 − 2 = 3 x ⇒ x = −2 III.
Ecuaciones exponenciales en las que la exponencial es un factor común en uno de los miembros
Ejemplo 3. 2 x + 2 x − 2 + 2 x − 4 + 2 x −6 = 340 x −2 2x = 2 x ⋅ 2 −2 = 2 22 x − 4 2x = 2 x ⋅ 2 −4 = teniendo en cuenta que: 2 , sustituyendo en la ecuación: 24 x −6 2x = 2 x ⋅ 2 −6 = 2 26 2x +
2x 22
+
2x 24
+
2x 26
= 340
sacando factor común de 2 x 1 1 1 + + 2 x 1 + 2 4 2 26 2
= 340
operando el paréntesis: 2x
26 + 24 + 22 +1 2
6
= 2x
85 26
= 340
despejando la exponencial 2x =
340 ⋅ 2 6 = 256 = 2 8 ⇒ x = 8 85
LOGARÍTMOS Definición: log a x = y ⇔ a y = x El logaritmo en base a es la operación inversa a la exponencial en base a log a a x = x • •
ó a loga x = x
Los logaritmos más usados son: Ln ≡ Logaritmo neperiano, es decir, logaritmo en base e(e = 2’7182.... ∈ I(Irracionales)) log ≡ Logaritmo decimal, es decir, logaritmo en base 10. Propiedades de las operaciones con logaritmos:
i. ii.
Log a 1 = 0 ∀ a ≠ 0 Log a f + Log a g = Log a (f ⋅ g )
iii.
f Log a f − Log a g = Log a g
iv.
k ⋅ Log a f = Log a f k
v. vi.
k = log a a k Log a f = Log a g ⇔ f = g 1 243 Aplicando la definición de logaritmo
Ejemplo 4. Calcular log
3
x 1 1 =x⇔ 3 = 243 243 se convierte el calculo del logaritmo en una ecuación exponencial del primer tipo. x 1 3 = 243 expresando la igualdad en forma exponencial x x 3 2 = 3 − 4 ⇒ = −4 : x = −8 2
log
3
Ejemplo 5. Resolver 3 x = 2 Para resolver una ecuación con la variable en el exponente, se toman logaritmos en ambos miembros de la igualdad, de forma que se puede sacar la variable del exponente aplicando la propiedad iv. iv
log 3 x = log 2 → x ⋅ log 3 = log 2 despejando x=
log 2 = 0'6309 log 3
1 log(x + 4 ) 2 Aplicando las propiedades logarítmicas hay que transformar la expresión a la forma: log f ( x ) = log g ( x )
