Junio 2017. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos.  2 x + ay + z = a ,  Dado el siguiente sistema de ecuaciones x − 4 y + (a + 1)z = 1, se pide:  4 y − az = 0,  a) (2 puntos) Discutirlo en función de los valores del parámetro real a. b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para a = 1. c) (0.5 puntos) Resolver el sistema para a = 2. Solución. a. El sistema viene definido por dos matrices: 1  1 a 2 a 2 a     A =  1 − 4 a + 1 A* =  1 − 4 a + 1 1  A ⊂ A* ⇒ rg A* ≥ rg A 0 4    −a  − a 0  0 4 Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 , el sistema seria compatible determinado, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 a 1 a = 2 A = 1 − 4 a + 1 = 8a + 0 + 4 − 0 − a 2 + 8a + 8 = a 2 − 4 = 0 :  a = −2 0 4 −a

(

Discusión. i. ii.

iii.

)

Si a ≠ ±2, A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 , sistema seria compatible determinado.

2 − 2 1    1 −4 = 4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para Si a = ‒2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . A =  1 − 4 − 1 0 4 0 4  2    2 − 2 1 − 2   estudiar el rango de la matriz ampliada, A* =  1 − 4 − 1 1  se parte del menor de 0 4 2 0   orden dos distinto de cero y se estudian sus menores orlados, de los dos posibles, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 2 −2 −2 1 − 4 1 = −16 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A , sistema incompatible. 0 4 0 1  2 2   1 Si a = 2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . A =  1 − 4 3   0 4 − 2 0   1 2 2  el rango de la matriz ampliada, A* =  1 − 4 3 0 4 − 2 

−4 4

= 4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar

2  1  se parte del menor de orden dos 0  distinto de cero y se estudian sus menores orlados, de los dos posibles, solo que queda por 2 2 2 estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 1 − 4 1 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A ≠ n = 3 ,

0

4

0

sistema compatible indeterminado. b. Para a = 1. Según la discusión del apartado a, sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Gauss o por el método de Cramer. Método de Gauss:

1

2 1  1 − 4 0 4  1 − 4 2 M  = 0 9 − 3 M 0 0 3 M 

1

M 1 1 − 4 2 M 1 1 − 4 2 M     2 M 1 =  2 1 1 M 1 = 0 9 − 3 M E1 ↔ E 2   E 2 − 2 E1  0 4 − 1 M − 1 M 0   0 4 − 1 M 0  1   x − 4 y + 2z = 1 8 5   4 x − 4 y + = 1  x − 4 y = − − 1 ; 9 y − 3z = −1 ; z = ;  3 ;  3; 3 9 y − 4 = −1    = 9 y 3   4   3z = 4

1  − 1 = 9E 3 − 4 E 2 0  y=

1 ; 3

4 5 1  x − = − ; x = − 3 3 3 

 1 1 4 Solución:  − , ,   3 3 3 Método de Cramer: m =1

A = m 2 − 4 = 12 − 4 = −3

x=

Ax A

=

1 1 1 1 −4 2 0 4 −1 −3

=

Ay 1 ; y= = −3 A

2 1 1 1 1 2 0 0 −1 −3

=

A −1 1 = ; z= z = −3 3 A

2 1 1 1 −4 1 0 4 0 −3

=

−4 4 = −3 3

 1 1 4 Solución:  − , ,   3 3 3 2 x + 2 y + z = 2  c. Para a = 2,  x − 4 y + 3z = 1 teniendo en cuenta la discusión del apartado a, sistema  4 y − 2z = 0  compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Se seleccionan como independientes las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero. x − 4 y + 3z = 1  4 y − 2z = 0  Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro y se resuelve en función de este, se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron el menor de orden 2 (z = λ ) . x − 4 y = 1 − 3λ  4y = 2λ  De la segunda ecuación se despeja y y sumando las ecuaciones se despeja x. λ x = 1− λ y = z = λ ∀λ∈R 2

Septiembre 2016. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones siguiente: a  2x + (a − 1)y − 2z =  2 x + y − az = 2  − x + y + z = 1− a  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro a. b) (1 punto) Resolverlo cuando sea posible. Solución. a. Al sistema lo caracterizan las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). a   2 a −1 − 2  2 a −1 − 2     A= 2 1 − a  A* =  2 1 − 2a 2  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 −1 1 −1 1 1  1 1 − a   

2

Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3, sistema compatible determinado, por lo tanto, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 a −1 − 2 a = −1 det A = 2 1 − a = 2 + a 2 − a − 4 − (2 + 2a − 2 − 2a ) = a 2 − a − 2 = (a + 1) ⋅ (a − 2) ; A = 0 :  a =2 −1 1 1

i.

Discusión: Si a ≠ ‒1, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3, sistema compatible determinado

 2 − 2 − 2   2 −2 Si a = ‒1. A = 0 ⇒ rg A < 3, A =  2 1 1 , = 6 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para −1 1  2 1 1   estudiar el rango de la matriz ampliada solo se tienen en cuenta los menores orlados al menor de orden dos distinto de cero de la matriz de coeficientes. De los dos posibles menores orlados ({C1 , C 2 , C3 }; {C1 , C 2 , C 4 }) , el primero de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que para a = ‒1 es nulo, por lo tanto solo nos queda por estudiar el 2 − 2 −1 segundo menor orlado. 2 1 2 = 9 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A, sistema incompatible. −1 1 2

ii.

 2 1 − 2   2 1 Si a = 2. A = 0 ⇒ rg A < 3, A =  2 1 − 2  , = 3 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el −1 1 1  −1 1   rango de la matriz ampliada se opera de forma análoga al caso anterior y por tanto solo queda por estudiar un menor orlado al menor de orden 2 distinto de cero ({C1 , C 2 , C 4 }) .

iii.

2 1 2 2 1 2 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A, sistema compatible indeterminado. −1 1 −1 Si a ≠ ‒1, 2. Sistema compatible determinado. Método de Cramer. A = (a + 1) ⋅ (a − 2)

b.

•

•

•

x=

y=

z=

Ax A

Ay A

Az A

=

=

=

a a −1 − 2 2 1 −a 1− a 1 1

=

(a + 1) ⋅ (a − 2) 2 a −2 2 2 −a −1 1− a 1

(a + 1)⋅ (a − 2) 2 a −1 a 2 1 2 −1 1 1− a

(a + 1) ⋅ (a − 2)

(a + 1) ⋅ a ⋅ (a − 2) = a (a + 1) ⋅ (a − 2)

=

− (a − 2)2 − (a − 2 ) = (a + 1) ⋅ (a − 2) a + 1

=

(2a − 1) ⋅ (a − 2) = 2a − 1 (a + 1) ⋅ (a − 2) a + 1

Si a = 2. Sistema compatible indeterminado. Rango del sistema 2, por lo tanto, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Para no equivocarnos en la selección de las ecuaciones linealmente independientes, se toman las ecuaciones que contienen al menor de orden dos distinto de cero  2 1     − 1 1 ≠ 0  , la 2ª y la 3ª.  

3

 2 x + y − 2z = 2 S′ :  − x + y + z = − 1 Sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas. Para resolver el sistema se transforma una de las variables en parámetro y se resuelven las otras dos variables en función del parámetro. Para no equivocarnos en la elección de la variable, se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 distinto de cero, en este caso la z.  2 x + y − 2z = 2 z = λ  2 x + y = 2 + 2 λ S′ :   → − x + y + z = − 1 − x + y = − 1 − λ Restando las ecuaciones se obtiene x: 3x = 3 + 3λ ⇒ x = 1 + λ Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación se obtiene y. −1 − λ + y = −1 − λ ⇒ y = 0 Solución: (1 + λ, 0, λ ) ∀ λ ∈ R

Junio 2016. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: y + mz = 1 3x +  y + 2z = − 2 x − 5x + (m + 1)y + 2z = 4  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) (0’5 puntos) Resolverlo en el caso m = 0. c) (0’5 puntos) Resolverlo en el caso m = 2. Solución. a. El sistema esta definido por las matrices: 1 m 1 m 1  3 3     A = 1 − 1 2 A* =  1 − 1 2 − 2 A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 5 m +1 2  5 m + 1 2 4      Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, rg A = rg A* = n = 3 , sistema compatible determinado, por lo tanto, se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz coeficientes. 3 1 m

det A = 1

−1

5 m +1

2 = −6 + 10 + m 2 + m − (− 5m + 2 + 6m + 6) = m 2 − 4 2

A = 0 ; m 2 − 4 = 0 ; m = ±2

i. ii.

Discusión: Si m ≠ ±2. A ≠ 0 ⇒ rgA = rgA* = 3. Sistema compatible determinado.

3 1 2   3 1 Si m = 2. A =  1 − 1 2  A = 0 ⇒ rg A < 3 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar 1 −1 5 3 2   3 1 2 1    el rango de la matriz ampliada, A* =  1 − 1 2 − 2  se parte del menor de orden dos 5 3 2 4    distinto de cero y se estudian sus menores orlados, de los dos posibles, solo que queda por

4

3

1

1

estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 1 − 1 − 2 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rgA ≠ n .

5

iii.

3

4

Sistema compatible indeterminado. 3 1 − 2   3 1 Si m = ‒2. A =  1 − 1 2  A = 0 ⇒ rg A < 3 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para 1 −1 5 −1 2    3 1 − 2 1    estudiar el rango de la matriz ampliada, A* =  1 − 1 2 − 2  se parte del menor de 5 −1 2 4   orden dos distinto de cero y se estudian sus menores orlados, de los dos posibles, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 3 1 1

1 − 1 − 2 = −28 ⇒ rg A* = 3 ≠ rgA . Sistema incompatible. 5 −1

4

= 1 3x + y  b. Para m = 0,  x − y + 2z = − 2 teniendo en cuenta la discusión del apartado a, sistema 5x + y + 2z = 4  compatible determinado. Se puede resolver por el método de Cramer o por el método de Gauss. m=0

Método de Cramer: A = m 2 − 4 = − 4

1

1

0

3

− 2 −1 2 x=

Ax A

=

4

1 −4

2

1

0

1 −2 2 =

Ay

5 4 2 − 28 8 = −2 ; y = = = =7; −4 A −4 −4 3

1

1

1 −1 − 2 z=

Az A

7  Solución:  − 2, 7,  2  Método de Gauss: 3 1 0 M 1  1    = ↔ = 1 − 1 2 M − 2 { E E }   3 1 2 5 1 2 M 4  5    1 −1 2  = {2E 3 − 3E 2 } =  0 4 − 6 0 0 2  7  x − y + 2 ⋅ 2 = − 2 ;  7  4y − 6 ⋅ = 7 2  7  Solución:  − 2, 7,  2 

=

5

1

4

−4

=

− 14 7 = −4 2

−1 2 M − 2 1 −1 2 M − 2  E 2 − 3E1    1 0 M 1 = =  0 4 − 6 M 7  = E − 5E1    1 2 M 4   3  0 6 − 8 M 14  M − 2  x − y + 2z = − 2   7 4 y − 6z = 7 : z = M 7 = 2 2z = 7 M 7  

x − y = − 9 y = 7 : {x − 7 = −9 : x = −2  4 y = 28 

5

3x + y + 2z = 1  c. Para m = 2,  x − y + 2z = − 2 teniendo en cuenta la discusión del apartado a, 5x + 3y + 2z = 4  sistema compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Se seleccionan como independientes las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero. 3x + y + 2z = 1   x − y + 2z = − 2 Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro y se resuelve en función de este, se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron el menor de orden 2 (z = λ ) . 3x + y = 1 − 2λ   x − y = − 2 − 2λ Sumando las ecuaciones se calcula x −1 4 x = −1 − 4λ ; x = −λ 4 Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación, se despeja y: −1 7 − λ − y = −2 − 2 λ ; y = + λ 4 4 7  −1  Solución:  − λ, + λ, λ  ∀ λ ∈ R 4  4 

Modelo 2016. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales:  x + 2 y + kz = 1  2 x + 4 y + z = 3 kx + 2 y − z = 3  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de k. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso k = 2. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso k = 1. Solución. a. Al sistema lo representan las matrices de coeficientes y ampliada: 1 2 k   1 2 k 1     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 A = 2 4 1  A* =  2 4 1 3   k 2 − 1  k 2 − 1 3     Si A ≠ 0 ⇒ rgA = rgA* = n = 3 Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 2 k

det A = 2 4

(

)

(

)

1 = −4 + 2k + 4k − 4k 2 + 2 − 4 = −4k 2 + 6k − 2 = −2 2k 2 − 3k + 1 = −2(2k − 1)(k − 1)

k 2 −1

1  2 k − 1 = 0 : k = A = 0 : −2(2k − 1)(k − 1) = 0 :  2  k − 1 = 0 : k = 1 i)

Discusión: 1 Si k ≠ , 1. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado. 2

6

 1 2 1 2   1 ii) Si k ≠ . A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  2 4 1  2 1 2 2 − 1     1 2 1 2 1   4 1 4 1 = −6 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . A* =  2 4 1 3  Partiendo del menor ≠ 0 , el único 2 −1 2 −1 1 2 2 − 1 3    menor orlado que queda por estudiar es el formado por la 2ª, 3ª y 4ª columna, 2 12 1 4 1 3 = 3 ≠ 0 ⇒ rg A ≠ rg A*. Sistema incompatible. 2 −1 3 1 2 1   1 2 1 1   2 1   iii) Si k = 1. A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  2 4 1  = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . 1 A* =  2 4 1 3   1 2 − 1 4 1  1 2 − 1 3     2 1 Partiendo del menor ≠ 0 , el único menor orlado que queda por estudiar es el formado por la 4 1 2

1 1 1 3 = 0 ⇒ rg A = rg A* = 2 ≠ n. Sistema compatible indeterminado. 2 −1 3

2ª, 3ª y 4ª columna, 4

b. Para k = 2. Sistema compatible determinado. La solución se puede obtener por el método de Gauss o por el método de Cramer. Gauss: 5  2 M 1  x + 2 y + 2z = 1  1 2 2 M 1 1 2      1 x + 2 y = 3 1 − 3z = 1 ; z = − :  ;y= :x=1  2 4 1 M 3  =  0 0 − 3 M 1 =  2 E − 2 E 3 3 1  2 2 − 1 M 3 2   − 2 y = −   E 3 − 2 E1  0 − 2 − 5 M 1  − 2 y − 5z = 1 3   1 1 1, , −   3 3 k =2

Cramer: A = −2(2k − 1)(k − 1) = −6

x=

Ax A

=

1 2 2 3 4 1 3 2 −1 −6

=

Ay −6 =1; y = = −6 A

1 1 2 2 3 1 2 3 −1 −6

=

A −2 1 = ; z= z = −6 3 A

1 2 1 2 4 3 2 2 3 −6

=

2 1 =− −6 3

c. k = 1. Sistema compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Se seleccionan como independientes las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero.  x + 2y + z = 1  2 x + 4 y + z = 3 Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro y se resuelve en función de este, se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron el menor de orden 2 (x = λ ) .

 2y + z = 1 − λ 2 y + z = 1 − λ 1   1  =  ; y = 1 − λ : 2 ⋅ 1 − λ  + z = 1 − λ; z = −1  2   2   4 y + z = 3 − 2 λ E 2 − E1  2 y = 2 − λ 1    λ , 1 − λ , − 1 ∀ λ ∈ R 2  

7

Septiembre 2015. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: − mx + my + z = 0  − my + 3z = 4  x  2x − 2 y − z = 0  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso m = 0. c) (0.5 puntos) Resolverlo en el caso m = 2. Solución. a. El sistema viene definido por las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). 1 1 0 − m m − m m     A =  1 − m 3  A* =  1 − m 3 4  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3  2  2 − 2 − 1 − 2 − 1 0    Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, rg A = rg A* = 3 = n , el sistema será compatible determinado, por tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. −m m 1

A= 1 2

− m 3 = −m 2 + 6m − 2 − (− 2m − 6m − m ) = −m 2 + 3m − 2 = −(m − 1)(m − 2) − 2 −1 m =1 A = 0 ⇒ −(m − 1)(m − 2) = 0 :  m = 2

i. ii.

iii.

Discusión. Si m ≠ 1, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 sistema compatible determinado.

1 −1 1   1 1 Si m = 1. A =  1 − 1 3  A = 0 ⇒ rg A < 3 . = 4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . −1 3  2 − 2 − 1    − 1 M 1 1M 0    A* =  1 M − 1 3M 4  Partiendo del menor de orden tres distinto de cero, se estudian sus  2 − 2 −1 0   menores orlados. De los dos menores orlados, el formado por la 1ª, 2ª y 3ª columna en el determinante de la matriz de coeficientes, por lo tanto solo queda por estudiar el formado 1 1 0 por la 2ª, 3ª y 4ª columna. − 1 3 4 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A , sistema incompatible. − 2 −1 0 1 − 2 2   −2 2 Si m = 2. A =  1 − 2 3  A = 0 ⇒ rg A < 3 . = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . 1 −2  2 − 2 − 1   M - 2 2 M 1 0    A* =  M 1 - 2 M 3 4  Partiendo del menor de orden tres distinto de cero, se estudian sus  2 - 2 - 1 0   menores orlados. De los dos menores orlados, el formado por la 1ª, 2ª y 3ª columna en el determinante de la matriz de coeficientes, por lo tanto solo queda por estudiar el formado −2 2 0 por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 1 − 2 4 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A ≠ n = 3 , sistema compatible 2 −2 0 indeterminado.

8

b. Para m = 0, sistema compatible determinado. Se puede resolver por el método de Gauss o por el método de Cramer. z = 0  = 4 x=4  z=0  x x + 3 z = 4  →  →{y = x = 4  2 x − 2 y = 0  2 x − 2 y − z = 0  Solución (4, 4, 0) Cramer: A = −(0 − 1)(0 − 2) = −2

x=

Ax A

=

0 0 1 4 0 3 0 − 2 −1 −2

=

Ay −8 =4; y= = −2 A

0 0 1 1 4 3 2 0 −1 −2

=

A −8 = 4; z = z = −2 A

0 0 0 1 0 4 2 −2 0 −2

=

0 =0 −2

Solución (4, 4, 0)

c. m = 2. Sistema compatible indeterminado de rango 2. El sistema equivalente esta formado por dos ecuaciones linealmente independientes. Para seleccionar las linealmente independientes se toma como referencia el menor de orden 2 distinto de cero que se haya utilizado para determinar el rango − 2 x + 2 y + z = 0  − 2 y + 3z = 4  x Como el sistema tiene mas incógnitas que ecuaciones, se transforma una variable en parámetro y se resuelve el sistema en función de ese parámetro. Para asegurarse el resultado, se toma como parámetro la variable que no formo parte del menor de orden 2 (la z). −λ − 2 x + 2 y =  x 2 y 4 − = − 3λ  Sumando las ecuaciones se calcula x, conocida x, se despeja y  x = −4 + 4 λ −λ  − 2 x + 2 y = 7 :  y = −4 + λ ∀ λ ∈ R  x − 2 y = 4 − 3 λ 2   z = λ

Junio 2015. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos a) (2 puntos) Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente: 4x + 3y + (m − 1)z = 0  mz = 1  x − 2y + 5x + my + z = 1  b) (1 punto) Resolver el sistema anterior para el caso m = 1. Solución.  4 3 m − 1  4 3 m −1 0     a. A = 1 − 2 m  A* =  1 − 2 m 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * 5 m 5 m 1  1 1    Si A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Se estudia el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 4 3 m −1

A = 1 −2 5 m

(

)

m = −8 + 15m + m(m − 1) − − 10(m − 1) + 4m 2 + 3 = −3m 2 + 24m − 21 1 m = 1 A = −3 ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 7 ) = 0 :  m = 7

9

Discusión: Si m ≠ 1, 7. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. i. ii.

 4 3 0   3 0 Si m = 1. A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  1 − 2 1  = 3 ≠ 0 rg A = 2. Para estudiar el 5 1 1 − 2 1    4 3 0 0   rango de la matriz ampliada  1 − 2 1 1  , se tiene en cuenta que de los dos menores 5 1 1 1   orlados a

3 0 , solo que nos queda por estudiar el formado por la segunda, tercera y −2 1

3 0 0 cuarta columna, − 2 1 1 = 0 , rg A*= 2 = rg A ≠ n. Sistema compatible indeterminado. 1 1 1 iii.

 4 3 6   4 3 Si m = 7. A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  1 − 2 7  = −11 ≠ 0 rg A = 2. Para estudiar el 5 7 1 1 − 2    4 3 6 0   rango de la matriz ampliada  1 − 2 7 1  , se tiene en cuenta que de los dos menores 5 7 1 1   orlados a

4 3 , solo que nos queda por estudiar el formado por la primera, segunda y 1 −2

4 3 0 cuarta columna, 1 − 2 1 = −24 ≠ 0 , rg A*= 3 ≠ rg A. Sistema incompatible. 5 7 1 b. Para m = 1, sistema compatible indeterminado, el sistema equivalente esta formado por dos ecuaciones (rg A = rg A*= 2). Se selecciona las ecuaciones que contienen al menor de orden dos distinto de cero. = 0 4 x + 3 y  5x + y + z = 1 El sistema se resuelve en función de un parámetro. Se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 (x = λ).  x = λ = − 4λ  3y 4 :  y = − λ ∀ λ ∈R  y + z = 1 − 5 λ 3   z = 1 − 11 λ 3 

Modelo 2105. Ejercicio 4B. Calificación máxima 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales:

 mx + y = 0   x + my = 0 mx + my = 0  se pide: a) (1,5 puntos) Discutirlo según los valores de m. b) (0,5 puntos) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. Solución. a. Sistema homogéneo (rg A = rg A*), compatible para cualquier valor que tome el parámetro m.

10

m 1    A =  1 m m m   El rango de la matriz se estudia para los valores del parámetro que anulen simultáneamente todos los menores de orden 2. Si partimos del menor α1.2 = 1 ≠ 0, se estudian sus menores orlados. m 1 m = −1 = m2 − 1 = 0 :  1 m  m =1 m 1 m = 0 = m2 − m = 0 :  m m m = 1 Solución común es m = 1. Discusión. i. Si m ≠ 1, existen menores de orden 2 distintos de cero, rg A = rg A* = 2 = n. Sistema compatible determinado, siendo su única solución la trivial (x = y = 0) 1 1   ii. Si m = 1 A = 1 1 , rg A = rg A* = 1 ≠ n = 2. Sistema compatible indeterminado 1 1  

b.

x + y = 0 x = −λ  y=λ → ∀ λ ∈ℜ x + y = 0 ≅ {x + y = 0   y=λ x + y = 0 

Modelo 2015. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices:

− 2 4 2    A =  −1 m m ;  −1 2 1   

 − 2   B= 0  ;  −1  

x   X =  y ; z  

 0   O =  0  0  

se pide: a) (1 punto) Estudiar el rango de A según los valores de m.

c) (0,75 puntos) Para m = −2, resolver el sistema AX = O. d) (0,75 puntos) Para m = 0, resolver el sistema AX = B. Solución. a. Si A ≠ 0 , rg A = 3. SE estudia el rango de la matriz A para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz.

−2 4 2 det A = − 1 m m = −2m − 4m − 4 − (− 2m − 4 − 4m ) = 0 −1 2 1 Para cualquier valor real que tome m, el rg A < 3. Para estudiar el rango 2 en la matriz A, se estudiar los menores orlados a un menor de orden 1 distinto de cero. Si se toma como menor de orden 1 el término a1.1, sus menores orlados son: −2 4 −2 2 −2 4 −2 2 = −2 m + 4 ; = −2 m + 2 ; =0; =0 −1 m −1 m −1 2 −1 1 Como no existen valores del parámetro que anulen simultáneamente todos los menores de orden 2, el rango de la matriz A es 2 para cualquier valor que tomo el parámetro.

11

2   x  0 −2 4 2 − 2 4       −2 4 c. ≠ 0 , el  − 1 − 2 − 2  ⋅  y  =  0  Teniendo en cuenta que − 1 − 2 − 2 = 0 y que −1 − 2  −1 2   z  0 1 − 1 2 1        x   0 2      − 2 4 − 2 x + 4 y + 2 z = 0  x − 2 y − z = 0  ⋅  y  =  0  ⇒  sistema es equivalente a:  = − 1 − 2 − 2    z   0  − x − 2 y − 2 z = 0  x + 2 y + 2z = 0     Para resolver el sistema se toma una variable como parámetro (z = λ, por ser la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 distinto de cero), y se resuelve en función del parámetro. 1  x = − 2 λ   x − 2y − z = 0 z = λ x − 2y = λ x − 2 y = λ 3 E 2 − E1  →   → : y = − λ ∀ λ ∈ R  4  x + 2 y + 2z = 0  x + 2 y = −2 λ  4 y = −3λ   z=λ 

 − 2 4 2  x   − 2  − 2 4 2 − 2         −2 4 d. ≠0,  − 1 0 0  ⋅  y  =  0  Según el apartado a, rg A = 2. A* =  − 1 0 0 0  ,  −1 2 1  z   −1  −1 2 1 −1 −1 0         −2 4 , de los dos rgA*≥2, para estudiar si puede tener rango 3, se estudian los menores orlados a −1 0 menores orlados que tiene, solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. −2 4 −2 − 1 0 0 = 0 , rg A* = 2 = rg A ≠ n. Sistema compatible indeterminado. El sistema equivalente esta −1 2 −1 formado por las ecuaciones que contienen al menor de orden dos distinto de cero.  x=0  − 2 x + 4 y + 2 z = −2  x − 2 y − z = 1 y = λ  =  → :  y = λ ∀ λ ∈ ℜ  − x = 0 x = 0   z = −1 − 2λ 

Septiembre 2014. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las matrices:

a a  1   A= 1 a 1 ; a −1 a 2  

x   X =  y ; z  

 0   O =  0  0  

se pide: c) (1 punto) Para a = 1; calcular todas las soluciones del sistema lineal AX = O. Solución. 1 1 1   x  0 x + y + z = 0       x + y + z = 0  Equiv c. 1 1 1  ⋅  y  = 0 x + y + z = 0 →  2y + z = 0 0 1 2  z  0  2y + z = 0        rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado. Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro y se resuelve en función del parámetro.  x=λ x + y + z = 0 y = λ x + z = −λ   → : y = λ ∀λ∈R   2y + z = 0  z = −2λ z = −2λ 

12

Modelo 2014. Ejercicio 3B. Calificación máxima 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales (a + 2)x + (a + 1)y = − 6  + 5y = a  x  x + y = −5  se pide: a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolverlo cuando sea posible. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.  a + 2 a + 1 a + 2 a + 1 − 6     A= 1 5  A* =  1 5 a   1  1 1  1 − 5    Si A * ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A ≤ 2 y por tanto, el sistema será incompatible. Teniendo en cuenta esto, el sistema se discute para los valores del parámetro que anulen el terminante de la matriz ampliada. a + 2 a +1 − 6

A* =

1 1

5 1

a = −21a − 21 = 0 : a = −1 −5

Discusión: 1. Si a ≠ ‒1. A * ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A ≤ 2 . Sistema incompatible 2.

b.

1 0   1 0 Si a = ‒1. A * = 0 ⇒ rg A* < 3 . A = 1 5  = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A* = n Sistema 1 1  1 5   compatible determinado. = −6 x = − 6  x = −6  Equivalente x a = ‒1: x + 5y = − 1   → : x + 5y = − 1  y = 1 x + y = − 5 

Septiembre 2013. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales: + λy + λz = 1− λ  2x  + y + (λ − 1)z = − 2λ  x (λ − 1)x + y + z = λ −1  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro λ. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso λ = 1. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso λ = ‒1. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, definido por las matrices: λ λ  λ λ 1− λ  2  2     A= 1 1 λ − 1 A* =  1 1 λ − 1 − 2λ  λ −1 1  λ −1 1 1  1 λ − 1   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 Si A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. El sistema será compatible determinado, por tanto, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (A).

13

2 λ λ det A = 1 1 λ − 1 = 2 + λ ⋅ (λ − 1) ⋅ (λ − 1) + λ − (λ ⋅ (λ − 1) + λ + 2 ⋅ (λ − 1)) = λ3 − 3λ2 + 4 = 0 λ −1 1 1 Factorizando el polinomio mediante el método de Ruffini:  λ = −1 det A = (λ + 1) ⋅ (λ − 2)2 = 0 :  λ=2

i. ii.

iii.

Discusión: Si λ ≠ ‒1, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.

 2 −1 −1   2 −1 Si λ = −1 . A =  1 = 3 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 − 2  A = 0 ⇒ rg A < 3 1 1 − 2 1  1    2 −1 −1 2    2 −1 A* =  1 1 − 2 2  Partiendo del menor ≠ 0 , solo estudian sus menores 1 1 − 2 1  1 − 2  orlados, de los que uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, y el otro es 2 −1 2 1 1 2 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A ≠ n = 3 . Sistema compatible indeterminado. −2 1 −2  2 2 2   Si λ = 2 . A =  1 1 1  A = 0 ⇒ rg A < 3 En la matriz solo existen menores de orden 1 1 1   2 2 2 −1   uno distintos de cero, por lo tanto rg A =1. A* =  1 1 1 − 4  se busca un menor de 1 1 1 1    orden dos distinto de cero

2 −1 ≠ 0 ⇒ rg A* = 2 ≠ rg A = 1 . Sistema incompatible. 1 −4

b. Para λ = 1 , teniendo en cuenta el apartado a, el sistema es compatible determinado, y la solución se puede calcular mediante el método de Cramer. 2 x + y + z = 0 Ay A A  = −2 x= x ; y= ; z= z x + y + A A A  y + z = 0  λ =1

A = (λ + 1) ⋅ (λ − 2)2 = (1 + 1) ⋅ (1 − 2)2 = 2

x=

0 1 1 −2 1 0 0 1 1 2

=

0 =0 2

y=

2 0 1 1 −2 0 0 0 1 2

=

−4 = −2 2

z=

2 1 0 1 1 −2 0 1 0 A

=

4 =2 2

c. Para λ = ‒1, teniendo en cuenta el apartado a, el sistema es compatible indeterminado, además como el rango del sistema es dos, el sistema solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Se toman como linealmente independientes las ecuaciones que contienen los términos del menor  2 −1  de orden dos distinto de cero  ≠ 0  , la primera y la segunda. 1 1  2 x − y − z = 2   x + y − 2z = 2

14

Para resolver el sistema se necesita un parámetro, se toma como parámetro la variable cuyos  2 −1  coeficientes no forman el menor de orden dos distinto de cero  ≠ 0  , la z. 1 1  2x − y − z = 2 z = µ 2x − y = 2 + µ  →   x + y − 2z = 2  x + y = 2 + 2µ Una vez igualado el número de ecuaciones e incógnitas (2×2), se resuelve aplicando el método de Cramer u otro cualquiera. 2 + µ −1 2 2+µ

x=

2 + 2µ 1 4 + 3µ = 2 −1 3 1 1

y=

1 2 + 2µ 2 + 3µ = 2 −1 3 1 1

4  x = 3 + µ  2 Solución:  y = + µ ∀ µ ∈ R 3  z = µ  

Septiembre 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dadas las matrices:

1  a A= a  a 

1 a a  1 1 a , a 1 1  a a 1 

x   y X=  , z   w  

 0    0 O=  0    0  

se pide: a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1. c) (1 punto) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = ‒1. Solución. a. Para calcular el determinante de la matriz A, se hacen ceros en una línea(fila o columna), utilizando las propiedades de los determinantes y se reduce a uno de orden tres.

1 a det A = a a

1 1 a a

F2 = F2 − a ⋅F1

a 1 1 a

a F3 = F3 − a ⋅F1 1 1 a F = F − a ⋅ F 1 0 1− a 1− a2 a 4 4 = 1 0 0 1− a2 1 0 0 a − a2

= (1 − a ) ⋅ (− 1)1+1

(

)

1 1− a2 1− a2 = (1 − a ) ⋅ 1 − a 2 ⋅ 2 2 a ⋅ (1 − a ) a − a 1− a

= (1 − a ) ⋅ 1 − a 2 ⋅ (1 − a ) ⋅

i.

ii.

a 1− a 1− a2 1− a2 a − a2 = 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ 0 1− a2 1− a2 = 1− a2 0 a − a2 1− a2 1− a2

(

)

1 = (1 − a ) ⋅ (1 + a )

1 1 = (1 − a )2 ⋅ 1 − a 2 ⋅ (1 − a − a ) = (1 − a )3 ⋅ (1 + a ) a 1+ a

(

)

Rango de A: Si a ≠ ± 1, A ≠ 0 ⇒ rg A = 4

1  1 Si a = 1, A = 0 ⇒ rg A < 4. A =  1  1  uno distintos de cero, rg A = 1

1 1 1 1

15

1 1 1 1

1  1 , en la matriz A solo hay menores de orden 1  1

iii.

 1 1 − 1 − 1   −1 1 1 1 − 1 −1 1 Si a = ‒1, A = 0 ⇒ rg A < 4. A =  − 1 − 1 1 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A = 3. −1 −1 1 1   −1 −1 −1 1  −1 −1 −1  

Para a = 1, A ⋅ X = 0 1 1 1 1  x   0  x + y + z + t = 0        1 1 1 1  y   0  x + y + z + t = 0 Equivalent →{x + y + z + t = 0 1 1 1 1 ⋅  z  =  0  ⇒ x + y + z + t = 0           1 1 1 1  t   0  x + y + z + t = 0        Sistema de una ecuación y cuatro incógnitas, para resolver, se toman tres variables como parámetros y se resuelve en función de ellos. y=λ  x = −λ − µ − ω  z =µ   y=λ t =ω  x y z t 0 + + + =    → ∀ λ, µ, ω ∈ R   z=µ     t=ω 

b.

Para a = ‒1, A ⋅ X = 0  1 1 − 1 − 1  x   0   x + y − z − t = 0       1 − 1  y   0  − x + y + z − t = 0 −1 1 ⋅ = ⇒ −1 −1 1 1   z   0  − x − y + z + t = 0        − 1 − 1 − 1 1   t   0  − x − y − z + t = 0        Teniendo en cuenta el rango de A para a = ‒1, y el menor de orden tres distinto de cero:  x+y−z−t =0 − x + y + z + t = 0 − x + y + z − t = 0  Equivalent     →− x − y + z + t = 0  − x − y + z + t = 0 − x − y − z + t = 0  − x − y − z + t = 0 Sistema de tres ecuaciones y cuatro incógnitas, para resolver, se transforma una variable en parámetro, teniendo en cuenta el menor de orden tres distinto de cero, se toma como parámetro t. E 2 = E 2 − E1 x = λ − x + y + z + t = 0 − x + y + z = − λ  x − y − z = λ E = E − E  x − y − z = λ  3 3 1   y = 0 t =λ  →− x − y + z = −λ =  x + y − z = λ = ∀λ∈R − x − y + z + t = 0   2y = 0 =  − x − y − z + t = 0 − x − y − z = −λ x + y + z = λ  2 y + 2z = 0  z = 0      t = λ

c.

Junio 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales: ax + 7 y + 5z = 0   x + ay + z = 3  y + z = −2  Se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de a. b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 4. c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a = 2. Solución.  a 7 5 a 7 5 0      a. A =  1 a 1  A* =  1 a 1 3  A ⊂ A* ⇒ rgA ≤ rgA* ≤ 3 ; n = 3 0 1 1 0 1 1 − 2     Si A ≠ 0 ⇒ rgA = rgA* = n = 3 , sistema compatible determinado. Se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.

16

a 7 5  a = −1 det A = 1 a 1 = a 2 − a − 2 = (a + 1)(a − 2) A = 0: a=2 0 1 1 Discusión. Si a ≠ ‒1, 2; A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. i. Si a = ‒1.

ii.

 −1 7 5  A* =  1 − 1 1 0 1 1  −1

 −1 7 5   −1 A =  1 − 1 1  A = 0 ⇒ rgA < 3 1  0 1 1   0   3  rgA* ≥ 2 . De los menores orlados a − 2 

el formado por 1

0 iii.

2  A* =  1 0 

7 −1

= −6 ≠ 0 ⇒ rgA = 2 .

−1

7

1

−1

, solo que queda por estudiar

7

0

−1

3 = 15 ≠ 0 ⇒ rgA* = 3 ≠ rgA Sistema incompatible

1

−2

 2 7 5   1 2 Si a = 2, A =  1 2 1  A = 0 ⇒ rgA < 3 = 1 ≠ 0 ⇒ rgA = 2 0 1  0 1 1   7 5 0   1 2 2 1 3  rgA* ≥ 2 . De los menores orlados a , solo que queda por estudiar el 0 1 1 1 − 2  2 7

formado por 1 2

0 3 = 0 ⇒ rgA* = 2 = rgA < n = 3 Sistema compatible indeterminado.

0 1 −2 a = 4. Sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Cramer.  4 x + 7 y + 5z = 0 a =4  A = a 2 − a − 2 = 4 2 − 4 − 2 = 10  x + 4y + z = 3  y + z = −2  0 7 5 4 0 5 4 7 0

b.

3 x=

Ax A

=

4 1

−2 1 1 10

1 =

Ay

20 =2; y= = 10 A

3

1

0 −2 1 10

1 4 =

Az

10 =1; z = = 10 A

3

0 1 −2 10

=

− 30 = −3 10

Solución: (2, 1, − 3)

c. a = 2. Sistema compatible indeterminado. Teniendo en cuenta que el rango del sistema es 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes, para seleccionar estas, se toman las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden 2 distinto de cero que utilizamos en el estudio del rango (2ª y la 3ª ecuaciones). x + 2 y + z = 3   y + z = −2 Como el número de incógnitas es superior al de ecuaciones, se transforma una incógnita en parámetro y se resuelve el sistema en función del parámetro. Se toma como parámetro la incógnita cuyos coeficientes nos formaron parte del menor de orden dos ( en este caso z). x + 2 y + z = 3 z = λ x + 2 y = 3 − λ  →   y + z = −2  y = −2 − λ Resolviendo por sustitución: x + 2 ⋅ (− 2 − λ ) = 3 − λ x =7+λ

17

Solución: (7 + λ, − 2 − λ, λ ) ∀ λ ∈ R

Modelo 2013. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema

(m + 3)z

 x + 2y +  x + y + 2 x + 4 y + 

= 3

2

(4 + m − m )z

= 3

3(m + 2 )z

= 8

Se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) (1 punto) Resolverlo para m = ‒2. Solución. a. El sistema viene definido por las matrices de coeficientes (A) y la ampliada (A*). m+3  m+3 3 1 2 1 2    2 2 A = 1 1 4 + m − m  A* =  1 1 4 + m − m 3  2 4 2 4 3(m + 2)  3(m + 2) 8    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 3 = n , sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro m que anulen el determinante de A. 1 2 m+3

(

[

)

(

)]

A = 1 1 4 + m − m 2 = 3(m + 2) + 4 4 + m − m 2 + 4(m + 3) − 2(m + 3) + 6(m + 2) + 4 4 + m − m 2 = −m 2 4 i. ii.

3(m + 2 )

Discusión. Si m ≠ 0. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 3 = n Sistema compatible determinado.

1 2 3   1 2 Si m = 0. A =  1 1 4  A = 0 ⇒ rg A < 3 = −1 ≠ 0 rg A = 2. El rango de la matriz 1 1  2 4 6   ampliada se estudia a partir del menor de orden dos distinto de cero. De sus dos menores orlados, uno es el determinante de la matriz de coeficientes y por tanto solo queda or estudiar el menor formado por las dos primera columnas y la cuarta columna. 1 2 3 1 1 3 = −2 ≠ 0 rg A* = 3. rg A ≠ rg A * Sistema incompatible 2 4 8

b.

 x + 2y + z = 3   x + y − 2z = 3 Sistema compatible determinado. Se puede resolver por cualquier 2 x + 4 y = 8 

método. Método de Cramer:

x=

Ax A

; y=

Ay A

; z=

Az A

m = −2

A = −m = 2

x=

3 2 5 3 1 2 8 4 12 2

= −2 ; y =

1 3 5 1 3 2 2 8 12 2

Solución (‒2, 3, ‒1)

18

=3 ; z =

1 2 3 1 1 3 2 4 8 2

= −1

Septiembre 2012. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales + ay + 4z = 6  3x  + (a + 1)y + z = 3  x (a − 1)x − ay − 3z = − 3  Se pide: c) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores de a. d) (1 punto) Resolverlo para a = ‒1. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las matrices de coeficientes(A) y ampliada(A*). a 4  a 4 6   3  3     A= 1 a + 1 1  A* =  1 a +1 1 3   a − 1 − a − 3  a − 1 − a − 3 − 3     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 Si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A coincide con el de A* y con el número de incógnitas, el sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro “a” que anulen el determinante de la matriz de coeficientes ( A = 0) .

3 a 4 A= 1 a + 1 1 = −9 ⋅ (a + 1) + a ⋅ (a − 1) − 4a − 4 a 2 − 1 − 3a − 3a = −3a 2 − 8a − 5 a −1 − a − 3

((

)

)

 a = −1 A = −(a + 1) ⋅ (3a + 5) = 0 :  5 a = − 3 Discusión: i.

ii.

5 . A ≠ 0 , rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. 3  3 −1 4    Si a = ‒1. A = 0 ⇒ rg A < 3. A =  1 0 1  Se busca un menor de orden 2 distinto  − 2 1 − 3   Si a ≠ −1, −

de cero.

3 −1 = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. Para calcular el rango de la matriz ampliada (A*), se 1 0

tiene en cuenta que rg A* ≥ rg A = 2. Partiendo del menor de orden dos distinto de cero, es estudian sus menores orlados, uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que para a = ‒1 es nulo, por lo que solo queda por estudiar el menor formado por las dos 3 −1 6

0 3 = 0 ⇒ rg A* < 3. −2 1 −3 Conclusión: rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. −5 3 4   3   5 Si a = − . A = 0 ⇒ rg A < 3. A =  1 − 2 3 1  Se busca un menor de orden 2 3  − 8 3 5 3 − 3   primera columnas y la cuarta columna. 1

iii.

distinto de cero.

3 4 = −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. Para calcular el rango de la matriz ampliada 1 1

(A*), se tiene en cuenta que rg A* ≥ rg A = 2. Partiendo del menor de orden dos distinto de cero, es estudian sus menores orlados, uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que para a = ‒5/3 es nulo, por lo que solo queda por estudiar el menor formado

19

3 4 6 por la primera, tercera y cuarta columna. 1 1 3 = −4 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3. −8 3 −3 −3 Conclusión: rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible.

b. Para a = ‒1, sistema compatible indeterminado de rango dos, su sistema equivalente está formado por dos ecuaciones. Para escoger las linealmente independientes se toman las ecuaciones que  3 −1  contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero  ≠ 0  1 0  3x − y + 4z = 6 S' :  + z = 3 x El sistema se resuelve mediante un parámetro. Para evitar errores se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no se utilizaron en el menor de orden dos (x = λ) 3x − y = 6 − 4λ S' :  = 3−λ x x = 3 − λ  Resolviendo por sustitución:  y = 3 + λ ∀ λ ∈ R  z=λ 

Septiembre 2012. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones lineales − 2z = 2 x   ax − y + z = − 8 2 x + az = 4  Se pide: a) (2,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de a. b) (0,5 punto) Resolverlo para a = ‒5. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). 1 0 − 2 1 0 − 2 2      A = a −1 1  A* =  a − 1 1 − 8  2 0 2 0 a  a 4    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 Si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A coincide con el de A* y con el número de incógnitas, el sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro “a” que anulen el determinante de la matriz de coeficientes ( A = 0) .

1 0 −2 A = a − 1 1 = −a + 0 + 0 − (4 + 0 + 0) = −a − 4 2 0 a

A =0

a = ‒4

Discusión: i. Si a ≠ ‒4. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado. ii.

Si a = ‒4. A = 0 ⇒ rg A < 3 . Ase busca un menor de orden 2 distinto de cero para saber si

0 −2 = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el rango de la ampliada se −1 1 parte del menor de orden dos anterior y se estudian sus menores orlados. De los dos

el rango es dos.

20

0 −2 , uno de ellos es el determinante de la matriz de −1 1 coeficientes, que sabemos que es cero para a = ‒4, por lo tanto solo que queda por estudiar 0 −2 2 el menor formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª. − 1 1 − 8 = 0 ⇒ rg A* < 3 . 0 −4 4 menores orlados del menor

rg A = rg A* = 2 < n = 3 Sistema compatible indeterminado. − 2z = 2  x  b. Para a = ‒5: − 5x − y + z = − 8 sistema compatible determinado, se puede resolver  2x − 5z = 4  por el método de Cramer. x=

Ax

Ay

y=

A

z=

A

Az A

a = −5

A = −a − 4 = − (− 5) − 4 = 1

x=

2 0 −2 − 8 −1 1 4 0 −5 1

=2

y=

1 2 −2 −5 −8 1 2 4 −5 1

= −2 z =

1 0 2 − 5 −1 − 8 2 0 4 1

=0

Junio 2012. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las matrices

k k k 2   A =  1 −1 k  ,    2k − 2 2   

12    B= 6 , 8  

 4   C =  3 ,  3  

x   X =  y z  

Se pide: a) (1,5 puntos) Hallar el rango de A en función de los valores de k b) (0,75 puntos) Para k = 2, hallar, si existe, la solución del sistema AX = B c) (0,75 puntos) Para k = 1, hallar, si existe, la solución del sistema AX = C

Solución. a. Si el A ≠ 0 , el rg A = 3. Se estudia el rango para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz. k det A = 1

k k2 1 −1 k = k ⋅ 1

2k − 2

2

1 k − 1 k = k ⋅ − 2 + 2k 2 − 2k − − 2k 2 − 2k + 2 = k ⋅ 4 k 2 − 4

[

(

)]

(

2k − 2 2

A =0 :

k=0  k 4k − 1 = 4k (k + 1)(k − 1) = 0 :  k = 1 k = −1 

(

2

)

Discusión: i. Si k ≠ 0, -1, 1. A ≠ 0 ⇒ rg A = 3

ii.

0 0 0   1 −1 Si k = 0, A =  1 − 1 0  , A = 0 ⇒ rg A < 3. = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 0 −2 0 − 2 2  

21

)

 −1 −1 1    −1 −1 Si k = ‒1, A =  1 − 1 − 1 , A = 0 ⇒ rg A < 3. = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 −1 − 2 − 2 2    1 1 1   1 1 Si k = 1, A =  1 − 1 1  , A = 0 ⇒ rg A < 3. = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 −1  2 − 2 2  

iii.

iv.

 2 2 4   x  12        b. Para k = 2:  1 − 1 2  ⋅  y  =  6  . Teniendo en cuenta que el A ≠ 0 , rg A = rg A*  4 − 2 2  z   8        = n = 3, sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Cramer o mediante la inversa de A. Cramer: Ay Ax Az x= ; y= ; z= A A A

(

)

k=2

(

)

A = k 4k 2 − 1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 2 − 4 = 24

12

x=

6 8

2

4

−1 2 −2 2 24

=

16 2 = ; y= 24 3

2 12 4

2

1 4

1 −1 4 −2

6 8

2 2

24

=

0 =0 ; z= 24

2

12 6 8

24

=

64 8 = 24 3

Matriz inversa: AX = B ; A −1 ⋅ AX = A −1 ⋅ B ; I ⋅ X = A −1 ⋅ B ; X = A −1 ⋅ B

 −1 +  −2 1  2 − = 24  − 2  2 +  −1 

t

1 −1   + 4 −2 t 6 2   2    2 2 1 1  = − A −1 = (adj A )t  − 12 − 12 12  = 2 4 −2  24  A 0 − 4   8 4 2 2   + 2 1 − 1   2 − 12 8   1  =  6 − 12 0  24    2 12 − 4  16  2 − 12 8  12   24 − 72 + 64   16   24   2 3          1 1 1 X = A −1 ⋅ B =  6 − 12 0  ⋅  6  =  72 − 72 + 0  =  0  =  0 24  =  0  24  24 24     24 + 72 − 32   64   64   8   2 12 − 4   8       24   3 

c.

2 2 4

1 2 − 4 2 2 4 + 4 2 2 4 − 1 2

1 1 1  x   4       1 1 Para k = 1,  1 − 1 1  ⋅  y  =  3  , A = 0 ⇒ rg A < 3. = −2 ≠ 0 , rg A = 2 1 −1  2 − 2 2  z   3      

22

1 1 4 1 1 1 4   A* =  1 − 1 1 3  rg A* ≥ 2. 1 − 1 3 = 20 ≠ 0 , rg A* =3  2 − 2 2 3 2 −2 3   rg A ≠ rg A* Sistema incompatible

Modelo 2012. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema lineal de ecuaciones: + y + 2z = 2  x  − 3x + 2 y + 3z = − 2  2x + my − 5z = − 4  se pide: a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores de m. b) (1 punto) Resolverlo para m = 1.

Solución. a. Al sistema lo definen las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*): 2   1 1 2   1 1 2     A = − 3 2 3  A* =  − 3 2 3 − 2  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 : n = 3  2 m − 5  2 m − 5 − 4     Si el |A| ≠ 0, el rango de de la matriz de coeficientes es 3 y por tanto el sistema es compatible determinado, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que no anulen el determinante. 1 1 2 SARRUS det A = − 3 2 3 = − 9m − 27 2 m −5 A = 0 : − 9m − 27 = 0 : m = −3

Discusión. i. Si m ≠ ‒3. |A| ≠ 0. rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. 1 2 ii. Si m = ‒3. |A| = 0. rg A < 3. = 8 ≠ 0 rg A = 2. Para estudiar el rango −3 2 de la ampliada se estudian los menores orlados al menor de orden 2 anterior. 1 1 2 − 3 2 − 2 = −20 ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible 2 −3 −4 b. Para m = 1. Sistema compatible determinado. Se puede resolvr por cualquier método. Cramer: x =

Ax A

; y=

Ay A

; z=

Az A m =1

A = − 9 ⋅ 1 − 27 = −36

x=

2 1 2 −2 2 3 −4 1 −5 − 36

=

− 36 =1 ; y = − 36

1 2 2 −3 −2 3 2 −4 −5 − 36

Solución (1, ‒1, 1)

23

=

36 = −1 ; z = − 36

1 1 2 −3 2 −2 2 1 −4 − 36

=

− 36 =1 − 36

Modelo 2012. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema

+ 2y = 1  x   3x + y = − a − 3x + 2ay = 7  se pide: a) (1'5 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. b) (1'5 puntos) Resolver el sistema cuando sea compatible.

Solución. a. Al sistema lo definen las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*): 2 2 1   1  1     A= 3 A* =  3 1 1 − a  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ 2 ; rg A* ≤ 3 : n = 2  − 3 2a   − 3 2a 7      Si el |A*| ≠ 0, el rango de de la matriz de ampliada es 3 y por tanto el sistema es incompatible, la matriz de coeficientes como máximo puede tener rango 2, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulen el |A*|. 1 2 1 SARRUS A* = 3 1 − a = 2a 2 + 12a − 32 = 2(a + 8)(a − 2 ) − 3 2a 7 a = −8 A * = 0 : 2(a + 8)(a − 2) = 0 :  a=2

Discusión. i. Si a ≠ ‒8, 2, |A*| ≠ 0, rg A* = 3. Sistema incompatible. 1 2 ii. Si a = ‒8, |A*| = 0, = −5 ≠ 0 ; rg A* = rg A = n = 2. Sistema compatible 3 1 determinado. 1 2 iii. Si a = , |A*| = 0, = −5 ≠ 0 ; rg A* = rg A = n = 2. Sistema compatible 3 1 determinado.

b.

RESOLVIENDO POR CUALQUIER MÉTODO

 x + 2y = 1  x =3 a = ‒8:      → 3x + y = 8  y = −1 RESOLVIENDO POR CUALQUIER MÉTODO

 x + 2y = 1 x = −1 a = 2:      → 3x + y = − 2  y =1

Septiembre 2011. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales + 4y = 4k  2x  3 2 − k x + k y + kz = 0  x + ky = k2  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo en función del valor del parámetro k. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para k = 1. c) (0,5 puntos) Resolver el sistema para k = 2. Solución. a. El sistema está definido por las matices de coeficientes (A) y ampliada (A*).

24

 2  A = − k3  1 

4 k2 k

0  2   k  ; A* =  − k 3  1 0  

4 k2 k

0 4k   k k  0 k 2 

A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ 3 ; n = 3 Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n , el sistema será compatible determinado, por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 4 0

det A = − k 3 1

k2 k

(

)

k = 0 + 4k + 0 − 0 + 0 + 2k 2 = 4k − 2k 2 = 2k (2 − k ) 0 k = 0 A = 0 : 2k (2 − k ) = 0 :  k = 2

Discusión: Si k ≠ 0, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado i.

 2 4 0 2 4 0 0     Si k = 0. A =  0 0 0  ; A* =  0 0 0 0  . La matriz de coeficientes y la ampliada solo 1 0 0 1 0 0 0     se diferencian en una columna de ceros, por lo tanto tendrán el mismo 2 4 rango. A = 0 ⇒ rg A < 3 . = −4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A * < n = 3 . Sistema compatible 1 0 indeterminado

ii.

 2 4 0   Si k = 2. A =  − 8 4 2  . A = 0 ⇒ rg A < 3 .  1 2 0    2 4 0 8   4 A* =  − 8 4 2 2  . Partiendo del menor 4  1 2 0 4  

iii.

4 0 = 8 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . 4 2 0 , el único menor orlado que queda por 2

4 0 8 estudiar es 4 2 2 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A < n = 3 . Sistema compatible indeterminado.

2 0 4 Para k = 1, sistema compatible determinado, se puede resolver por el método de Cramer. = 4  2x + 4 y  − x + y + z = 0 x + y = 1 

b.

k =1

A = 4k − 2k 2 = 4 ⋅1 − 2 ⋅12 = 2

x=

Ax A

=

4 4 0 0 1 1 1 1 0 2

=

Ay 0 =0; y= = A 2

2 4 0 −1 0 1 1 1 0 2

=

Az 2 = 1; z = = A 2

2 4 4 −1 1 0 1 1 1 1

=

−2 = −1 2

Solución: (0, 1, ‒1).

c. k = 2. Sistema compatible indeterminado de rango dos, lo cual indica que en el sistema solo hay dos ecuaciones linealmente independientes.

25

Para seleccionar las ecuaciones linealmente independiente se escogen las que contengan al 4 0 . menor de orden dos distinto de cero que estableció el rango del sistema   4 2   = 8  2x + 4 y  − 8 x + 4 y + 2 z = 4 El sistema se resuelve en función de una de sus variables que previamente convertimos en parámetro. Para evitar confundirnos en la elección del parámetro, se toma como tal la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden 2, en este caso la x. = 8 x = λ 2 y = 4−λ  2x + 4 y  →  − 4 x + 2 y + z = 4 2 y + z = 4 + 4 λ Resolviendo el sistema por cualquier método: x = λ  1 Solución :  y = 2 − λ ∀ λ ∈ R 2   z = 5λ

Junio 2011. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la matriz

 2a − 2 a 2    A =  − 1 a −1   2 1 a    a) (1 punto) Calcular el rango de A en función de los valores de a.  x   2     b) (1 punto) En el caso de a = 2, discutir el sistema A ⋅  y  =  1  en función de los valores  z  b     de b, y resolverlo cuando sea posible.  x   − 1     c) (1 punto) En el caso de a = 1, resolver el sistema A ⋅  y  =  2  z  2     

Solución. a. El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de cero que exista en la matriz. Por ser una matriz cuadrada de orden tres, si su determinante es distinto de cero, el rango es 3, por lo tanto se discute el rango para los valores del parámetro que anulen el determinante de la matriz

2a − 2 a 2 a = −2 A = −1 a −1 = 4 − a2 : A = 0 : 4 −a2 = 0:  2

1

a=2

a

Discusión: i. ii.

iii.

Si a ≠ ‒2, 2; |A| ≠ 0. rg A = 3

− 4  Si a = ‒2; |A| = 0. rg A < 3. A =  − 1  2   4  Si a = 2; |A| = 0. rg A < 3. A =  − 1  2 

−2 −2

4   −4 −2 − 1 = 6 ≠ 0 . rg A = 2 −1 − 2  1 − 2 −2 4   4 −2 2 − 1 = 6 ≠ 0 . rg A = 2 −1 2  1 2

26

 4 − 2 4   x   2        − 1 2 − 1 ⋅  y  =  1  Para a = 2, rg A = 2. El tipo de solución del sistema se  2 1 2   z   b  

b.

discute en función del rango de la matriz ampliada.

 4 − 2 4 2   A* =  − 1 2 − 1 1   2 1 2 b   Orlando el menor de orden 2 de la matriz A

4

−2

−1

2

= 6 ≠ 0 , en la ampliada solo queda un

menor de orden 3 por estudiar, formado por las dos primeras columnas y la cuarta.

4 −2 2 18 − 1 2 1 = 6b − 18 ; 6b − 18 = 0 ; b = = 3 6 2 1 b

i.

Discusión: b ≠ 3 . En la ampliada existe un menor de orden 3 en la distinto de cero, rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible b = 3 . En la ampliada no existen menores de orden 3 distintos de cero, rg A* = 2 = rg A. Sistema compatible indeterminado.

ii.

Para b = 3 , el sistema equivalentes esta formado por las dos ecuaciones que contienen al menor

4 x − 2 y + 4 z = 2  − x + 2y − z = 1

de orden 2 distinto de cero: 

El sistema se resuelve en función de un parámetro. Se recomienda tomar como parámetro la variable que no se utilizo en el menor de orden 2 distinto de cero (z = λ).

4 −2 4 x − 2 y = 2 − 4 λ : =6  −1 2  − x + 2y = 1 + λ Utilizando el método de Cramer:

x=

2 − 4λ − 2 1+ λ 2 6

=1− λ ; y =

4 2 − 4λ −1 1+ λ 6

=1

Solución: (1‒λ, 1, λ) ∀ λ ∈ R

 2 − 2 1   x   − 1        − 1 1 − 1 ⋅  y  =  2  Sistema compatible determinado. Se resuelve por el  2 1 1   z   2  

c.

método de Cramer. a =1

A = 4 − a 2 = 4 − 12 = 3

x=

−1 − 2 1 2 1 −1 2 1 1 3

2 −1 1 −1 2 −1 =

2 6 =2 ; y= 3

2

1

3

Solución: (2, 1, − 3)

27

2 − 2 −1 −1 1 2 =

2 3 =1 ; z = 3

1 3

2

=

−9 = −3 3

Junio 2011. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde 1 m − 1  0 x  m        A= 0 m −1 1  , X =  y , B =  m  m − 2 z  m + 2 0 0       según los valores de m. b) (1 puntos) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.

Solución. a. El sistema viene definido por la matriz de coeficientes (A) y la ampliada (A*). 1 m − 1 1 m −1 m   0  0     A= 0 m −1 1  ; A* =  0 m −1 1 m  m − 2 m − 2 0 0  0 0 m + 2    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro m que anulan el determinante de la matriz. 0 1 m −1 det A = 0 m −1 1 = −m ⋅ (m − 2 )2 m−2

0

0

m = 0 A = 0 ; − m ⋅ (m − 2 )2 = 0 :  m = 2

Discusión: Si m ≠ 0, 2. |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado 1 − 1  0   0 −1 ii. Si m = 0. |A| = 0, rg A < 3. A =  0 − 1 1  = −2 ≠ 0 rg A = 2 −2 0 − 2 0  0  i.

1 −1 0  0   A* =  0 − 1 1 0  De los menores orlados a − 2 0 0 2   0 estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna: 0 −2

iii.

0

−1

−2

0

, solo queda por

1 0 − 1 0 = 0 rg A* = 2. 0

2

rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. 0 1 1  0 1 1 2     Si m = 2. |A| = 0, rg A < 3. A =  0 1 1  rg A = 1. A* =  0 1 1 2   0 0 0  0 0 0 4     1 2 =4≠0 0 4 rg A* = 2 ≠ rg A. Sistema incompatible

b. m = 0. Las ecuaciones que forman el sistema equivalente son las que contienen al menor de orden 2 distinto de cero (la 2ª y la 3ª).

28

 x = −1 − y + z = 0 y = λ   → y = λ   − 2x = 2  z=λ   y =1  m = 1. Sistema compatible determinado.  z = 1 − x = 3  Solución: (‒3, 1, 1)

Modelo 2011. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema:

+ λz = 2 λx   x + λy − z = 1  x + 3 y + z = 2λ  se pide: a) (1,5 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1,5 puntos). Resolver el sistema para λ = 1. Solución. a. El sistema esta definido por las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). 2 λ 0 λ  λ 0 λ     A =  1 λ − 1 ; A* =  1 λ − 1 1  1 3 1   1 3 1 2λ      Por dimensiones de la matrices, se puede establecer: A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, su rango será tres, igual al rango de la ampliada e igual número de incógnitas, siendo el sistema compatible determinado, y habrá que discutir el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulen determinante de la matriz de coeficientes. λ 0 λ

(

)

det A = 1 λ − 1 = λ2 + 0 + 3λ − λ2 + 0 − 3λ = 6λ 1 3 1 A = 0 : 6λ = 0 : λ = 0 i.

ii.

Discusión. Si λ ≠ 0. A ≠ 0 ⇒ ra A = 3 = rg A* = n . Sistema compatible determinado. Las soluciones en estos casos se pueden resolver por el método de Cramer. 0 0 0    Si λ = 0: A =  1 0 − 1 A = 0 , rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto 1 3 1    1 0 de cero: = 3 ≠ 0 rg A = 2. 1 3

0 0 0 2   rg A* = rg  1 0 − 1 1  ≥ rg A = 2 . Partiendo del menor de orden dos distinto de 1 3 1 0   cero, el único menor orlado que queda por estudiar es el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 0 0 2 1 0 1 = 6 ≠ 0 rg A* = 3 1 3 0 rg A ≠ rg A* Sistema incompatible

29

b.

+z = 2 x  λ = 1 : x + y − z = 1 Sistema compatible determinado. Método de Cramer.  x + 3y + z = 2  λ =1

A = 6λ = 6

x=

Ax A

=

2 0 1 1 1 −1 2 3 1 6

=

Ay 3 ; y= = 2 A

1 2 1 1 1 −1 1 2 1 6

=0; z=

Az A

=

1 0 2 1 1 1 1 3 2 6

=

1 2

Septiembre 2010 FM. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. El sistema AX = B, donde

1 0 1 x     A = 0 2 0 , X =  y a 5 a  z     tiene diferentes soluciones según sea la matriz B. a) (1 punto) Determinar, si existen, el valor o valores de a para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de B) 0   b) (0,5 puntos) Si a = 4, y B =  − 1 , determinar, si existen, el valor o valores de b para los que el b   sistema es incompatible. 0   c) (1,5 puntos) Si a = 4, y B =  c  , determinar, si existe, el valor o valores de c para los que el 10    sistema es compatible indeterminado. Resolver el sistema. Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado, es que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero 1 0 1 1 1 det A = 0 2 0 = 2 ⋅ (− 1)2 + 2 =0 a a a 5 a No existe ningún valor de a que haga que el sistema sea compatible determinado.

1 0 1  x   0        b.  0 2 0  ⋅  y  =  − 1 . Como todo sistema, viene definido por la matriz de coeficientes (A) y  4 5 4  z   b        la matriz ampliada (A*). 1 0 1 1 0 1 0      A =  0 2 0  : A* =  0 2 0 − 1 . A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A *  4 5 4 4 5 4 b      Para que un sistema sea incompatible rg A ≠ rg A * Rango de A:

1 0 1 1 0 0 2 0 =0: = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 0 2 4 5 4

30

Rango de A*: Partiendo del menor de orden dos distinto de cero, se estudian su menores orlados.

1  0 1 0  4 : 0 2 1 0   4

0 2 5 0 2 5

1 0 =0 1 0 0 4 5 : Si b ≠ − : 0 2 − 1 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A 0 2 4 5 b − 1 = 2b + 5 b

Sistema incompatible.

c.

1 0 1  x   0         0 2 0  ⋅  y  =  c  Para que el sistema sea compatible indeterminado: rg A = rg A* ≠ n  4 5 4   z  10        1 0 1 1 0 1 0      A =  0 2 0  : A* =  0 2 0 c  . A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A *  4 5 4  4 5 4 10      Rango de A. 1 0 1 1 0 0 2 0 =0: = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 0 2 4 5 4 Rango de A*. 1 0 1  0 2 0 =0 1 0 0 1 0  4 5 4 : : Si c = 4 : 0 2 4 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A < n = 3 0 2 1 0 0 4 5 10  0 2 c = 20 − 5c   4 5 10

Sistema compatible indeterminado. Que el rango del sistema sea 2, indica que el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Tomando las ecuaciones que contienen a los coeficientes del menor de orden 2, aseguramos la elección. x + z = 0   y=4 Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro, lo mas conveniente es tomar como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden dos (z = λ).  x + z = 0 z =λ  x = −λ  →   y=4  y=4 Solución: (−λ, 4, λ) ∀ λ ∈ R

Septiembre 2010 FM. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones:

 x + y + kz = k  2  x + ky + z = k kx + y + z = 1  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro k. b) (1 punto) Resolverlo para k = 0

31

Solución.

1 1 k 1 1 k k      A =  1 k 1  : A* =  1 k 1 k 2  . A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 a. k 1 1 k 1 1 1      Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinando. Hay que estudiar el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 1 k det A = 1 k 1 = k + k + k − k 3 − 1 − 1 = − k 3 − 3k + 2 = −(k + 2)(k − 1)2 k 1 1

(

)

k = −2 det A = 0 : −(k + 2)(k − 1)2 = 0 :   k =1 Discusión: i. Si k ≠ −2, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. 1 − 2  1   1 1 ii. Si k = −2. A =  1 − 2 1  : A = 0 ⇒ rg A < 3. = −3 ≠ 0. rg A = 2 . Para estudiar 1 −2 − 2 1  1   el rango de la matriz ampliada se parte de un menor de orden dos distinto de cero y se estudian sus menores orlados.  1 1 −2   1 −2 1 =0  − 2 1 1 1 1 ≠ 0: ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible 1 1 − 2 1 −2   1 − 2 4 = −9 ≠ 0  1  − 2 1 iii.

b.

1 1 1   1 1 Si k = 1. A = 1 1 1 : A = 0 ⇒ rg A < 3. = 0. rg A < 2. 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 1. 1 1 1 1 1   1 1 1 1   A* = 1 1 1 1 , solo tiene menores de orden uno distintos de cero. rg A = rg A* =1 ≠ n 1 1 1 1   = 3. Sistema compatible indeterminado. x +  k = 0: x  + 

y

= 0 + z = 0 . Sistema compatible determinado. Método de Cramer. y + z = 1 k =0

A = −(k + 2)(k − 1)2 = − (0 + 2)(0 − 1)2 = −2

x=

Ax A

=

0 1 0 0 0 1 1 1 1 −2

=−

Ay 1 ; y= = 2 A

1 0 0 1 0 1 0 1 1

32

−2

=

Az 1 ; z= = 2 A

1 1 0 1 0 0 0 1 1 −2

=

1 2

Septiembre 2010. F.G. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la matriz:

1 m 1   m −1   A= 1 m −1 m 1   1 1 2 m − 1  se pide: a) (2 puntos) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m. b) (1 punto) En el caso de m = 0, resolver el sistema x    0  y   A ⋅  =  0 z    0  t   Solución. a. Por dimensiones de la matriz, rg A ≤ 3. Como la matriz tiene términos numéricos distintos de cero, rg A ≥ 1. Si se toma el término a3.1 como menor de orden 1 distinto de cero y se orla, todos sus menores orlados son función del parámetro. Tomando uno cualquiera (a2.1, a2.2, a3.1, a3.2): 1 m −1 = 2−m 1 1 Si m ≠ 2: el menor de orden dos será distinto de cero y por tanto rg A ≥ 2. 1 1 2 1   Si m = 2: A = 1 1 2 1 no existen menores de orden dos distintos de cero y por tanto rg A 1 1 2 1   =1. Si orlamos el menor de orden dos anterior, aparecen dos menores de orden tres.  m −1 1 m  m −1 m = 0  1  1 m −1  1 1 2 : m − 1 1 1 1 1   1 m −1 1 = m 3 − 3m 2 + 4 = (m + 1)(m − 2 )2  1 m −1  1 Discusión: i. Sí m ≠ −1, 2: Existen menores de orden tres distintos de cero. rg A = 3.  − 2 1 −1 1    ii. Sí m = −1: A =  1 − 2 − 1 1  Todos los menores de orden tres son nulos, rg A < 3.  1 1 2 − 2   −2 1 = 3 ≠ 0 rg A = 2 1 −2 iii. Sí m = 2. Como se vio inicialmente, rg A = 1. x + t = 0  − 1 1 0 1     0  − x + y    y    b. + t = 0  1 −1 0 1  ⋅   =  0 :  x − y  1 1 2 − 1  z   0   x + y + 2 z − t = 0   t      Sumando las dos primeras ecuaciones: 2t = 0: t = 0 = 0 − x + y  = 0 Como las dos primeras Sustituyendo el valor de t obtenido:  x − y  x + y + 2z = 0  ecuaciones son proporcionales, los criterios de equivalencia permiten eliminar una de ellas.

33

= 0 x − y   x + y + 2z = 0 Para resolver el sistema se transforma una cualquiera de las variables en parámetro (x = λ). = λ y : {λ + 2z = −λ : z = −λ   y + 2z = − λ Solución: (λ, λ, − λ, 0) ∀ λ ∈ R

Septiembre 2010 FG. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Dado el sistema:

 x + 2y − z = 0  2 x − y + z = 3 se pide: a) (1 punto) Estudiar la compatibilidad del sistema. b) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta. c) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta. Solución. a. La clasificación de un sistema según el tipo de solución se hace a partir de los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.  1 2 − 1 1 2 −1 0  : A* =   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 2 ; n = 3 A =   2 −1 1   2 −1 1 3

1 2 = −5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A* < n = 3 . Sistema compatible indeterminado. 2 −1 b. Para que un sistema de ecuaciones sea compatible determinado, rg A = rg A* = n. Teniendo en cuenta que el número de incógnitas es tres, habrá que añadir a la matriz de coeficientes (A) una fila de tal forma que el determinante de la nueva matriz de coeficientes sea distinto de cero, teniendo en cuenta que la matriz de coeficientes es una submatriz de la ampliada, si la matriz de coeficientes tiene rango tres, la ampliada también tendrá rango tres. Si tenemos en cuenta que el menor

1 2 ≠ 0 bastara con añadir la fila 0, 0, 1. 2 −1

1 2 −1  1 2 − 1   1 2 A =  2 − 1 1  : A = 2 − 1 1 = 1 ⋅ (− 1)3+3 ⋅ = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = 3 2 −1 0 0 1  0 0 1   El término 3.4 de la matriz ampliada puede ser cualquier número debido a que su rango es tres independientemente del valor de ese término.  1 2 −1 0   A* =  2 − 1 1 3  : rg A* = 3  0 0 1 0   x + 2 y − z = 0   S : 2x − y + z = 3 : rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado  z = 0 

c. Para que el sistema sea incompatible, rg A ≠ rg A*. para conseguir que los rangos sean distintos, se añade una tercera ecuación en la que los coeficientes de las variables sean una combinación lineal de los coeficientes de las dos primeras ecuaciones (lo mas sencillo es que sean la suma), y el termino independiente cualquier otro valor excepto el que le correspondería por la combinación lineal.

34

 x + 2y − z = 0  S : 2 x − y + z = 3 3x + y = 0  1  A = 2 3  1 2   A* =  2 − 1 3 1 

2 − 1 1 2  −1 1  : 2 −1 1 0  3 1 −1 0 1 2 0  1 3 : 2 −1 3 0 0  3 1 0

−1 1 2 1 = 0: ≠ 0 ⇒ rg A = 2 2 −1 0 = 3 ⋅ (− 1)2+3 ⋅

1 2 = 5 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 3 1

rg A ≠ rg A * Sistema incompatible.

Junio 2010 F.M. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Se considera el sistema de ecuaciones: my + 3z = 3 2 x +  y − 2z = 0 x + 5x + (m + 1)y + z = 9  se pide: a) (1 punto) Discutir el sistema según los valores de m. b) (1 punto) Resolver el sistema para el caso de m = 0. Solución. a. Al sistema lo describen las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). m 3  m 3 3 2 2     A = 1 1 − 2  A* =  1 1 − 2 0  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3 5 m +1 1   5 m +1 1 9     Si el A ≠ 0 , rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 m 3

A =1 1 − 2 = 2 − 10m + 3m + 3 − (15 + m − 4m − 4) = −6 − 4m 5 m +1 1 A = 0 : −6 − 4m = 0 : m = −

6 3 =− 4 2

Discusión.

3 . A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado. 2  3 − y + 3z = 3 2 x +  4 x − 3y + 6z = 6 2  2E   3  ii. Si m = − .  x + y − 2z = 0 :  1  :  x + y − 2z = 0 2  2E 3  10x − y + 2z = 18  3   5 x + − + 1 y + z = 9     2    4 −3 6    4 −3 A =  1 1 − 2  : A = 0 ⇒ rg A < 3 . = 7 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . 1 1 10 − 1 2    Para estudiar el rango de la matriz ampliada, se parte del menor de orden dos distinto de cero anterior y se estudian sus menores orlados. De los dos menores orlados, uno es de determinante de la matriz de coeficientes, que para a = −3/2 es nulo, por lo tanto soo nos queda poe estudiar el menor formado por la 1ª, 2º y 4ª columna. i.

Si m ≠ −

35

4 −3 6 1 1 0 = 60 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A = 2 . Sistema incompatible 10 − 1 18

b.

2 x +  Para m = 0. Sistema compatible determinado.  x + 5x + 

+ 3z = 3 y − 2z = 0 . Cramer y + z = 9

A = −6 − 4m = {m = 0} = −6 − 4 ⋅ 0 = −6

x=

Ax

3 0 3 0 1 −2 9 1 1

A

−6

=3: x=

Ay

2 3 3 1 0 −2 5 9 1

A

−6

= −5 : x =

Az

2 0 3 1 1 0 5 1 9

A

−6

= −1

Junio 2010 (FG). Ejercicio 3A.Calificación máxima: 2 puntos. Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:  x + ky − z = 0  2 x − y + 2 z = 0  x − 4 y + kz = 0  se pide: a) (1 punto) Determinar para que valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x =y=z=0 b) (1 punto) Resolverlo para el caso k = 3. Solución.  A ≠ 0 ⇒ S.C.D. (x = y = z = 0) a. Sistema homogéneo A = A* ⇒ rg A = rg A* ⇒ S. C.   A = 0 ⇒ S.C.I. 1 k −1 5  A = 2 − 1 2 = −2k 2 + k + 15 = −2 k + (k − 3) 2  1 −4 k

k = − 5 2 A = 0:  k = 3 El sistema tendrá solución distinta a la trivial para k = −

b.

5 y k = 3. 2

 x + 3y − z = 0  Para k = 3: 2x − y + 2z = 0 Sistema compatible indeterminado.  x − 4 y + 3z = 0 

1 3 = −7 ≠ 0 : rg A = rg A* = 2 2 −1 El sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes.

−5  x = 7 λ   x + 3y − z = 0 4 z = λ  x + 3y = λ S' :   → : Cramer :  y = λ 2 x − y + 2 z = 0 2 x − y = − 2 λ 5     z=λ 

36

Junio 2010 (FG). Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones:

 x + ay − z = a  + 2z = − 2 ax x + z = −2  se pide: a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro a. b) (1 punto) Resolverlo en el caso de a = 0. Solución. a. El sistema viene definido por la matriz de coeficientes (A) y por la matriz ampliada (A*).  1 a − 1  1 a −1 a      A =  a 0 2  A* =  a 0 2 − 2 1 0 1  1 0 1 − 2     La matriz A es una submatriz de la ampliada (A ⊂ A*), y por tanto el rango de A no puede ser mayor que el de la A* (rg A ≤ rg A*), y por dimensiones de las matrices, como máximo pueden ser tres. Si el determinante de la matriz de coeficientes (A) es distinto de cero, los rangos de las matrices son tres, coinciden con el número de incógnitas y el sistema será compatible determinado, por lo tanto, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (A). 1 a −1 a = 0 det A = a 0 2 = 0 + 2a − 0 − 0 + a 2 + 0 = 2a − a 2 = a ⋅ (2 − a ) = 0 :  2 − a = 0 : a = 2 1 0 1

(

)

Discusión: i. ii.

Si a ≠ 0, 2 : A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A * = n = 3. Sistema compatible determinado

 1 0 − 1   1 −1 Si a = 0 : A =  0 0 2  : A = 0 ⇒ rg A < 3; = 2 ≠ 0 : rg A = 2 . 0 2 1 0 1     1 0 −1 0   *  A =  0 0 2 − 2  , teniendo en cuenta que rg A = 2, rg A* ≥ 2. Para estudiar si la 1 0 1 − 2   matriz ampliada (A*) tiene rango tres, solo es necesario estudiar los menores orlados a 1 −1 . De los dos menores orlados, uno de ellos corresponde al formado por la 1ª, 2ª y 3ª 0 2 columna, que es el determinante de la matriz de coeficiente y sabemos que vale cero, por lo tanto, solo nos queda por estudiar el formado por la 1ª, 3ª y 4ª columna, si es distinto de cero el rango será tres y si es cero el rango será 2. 1 −1 0

0 1

2 1

− 2 = 0 ⇒ rg A * = 2 −2

rg A = rg A * = 2 < n = 3 . Sistema compatible indeterminado iii.

1  Si a = 2 : A =  2 1   1 2 −1 *  A = 2 0 2 1 0 1 

2 − 1  1 2 0 2  : A = 0 ⇒ rg A < 3; = −4 ≠ 0 : rg A = 2 . 2 0  0 1 2   − 2  , al igual que en el apartado anterior, de los dos menores orlados a − 2 

37

1 2 solo tenemos que estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna, el otro orlado es el 2 0 determinante de la matriz de coeficiente que es cero para a = 2. 1 2 2 2 0 − 2 = 8 ≠ 0 ⇒ rg A * = 3 ≠ rg A = 2 Sistema incompatible. 1 0 −2 x +  a = 0:  x 

− z = a b. + 2z = − 2 . Sistema compatible indeterminado de rango 2. Como marca + z = −2 su rango, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Para asegurar la elección de las ecuaciones linealmente independiente se escogen las ecuaciones que contienen a los términos del menor 1 −1 de orden 2 distinto de cero , en este caso la 1ª y la 2ª. 0 2  x − z = 0  x = −1 :   2 z = −2  z = −1 El hecho de que en el sistema no aparezca la variable “y” indica que puede tomar cualquier valor, y por tanto se toma como parámetro, siendo la solución: x =1  y = λ : ∀ λ ∈ R z =1 

Modelo 2010.Ejercicio 4A. Calificación máxima: 2 puntos. Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente sistema:  x + ky + z = k + 2   kx + y + z = k x + y + kz = −2(k + 1) 

Solución. El sistema lo describen la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*). k+2  1 k 1 1 k 1     A =  k 1 1  A* =  k 1 1 k  1 1 k  1 1 k − 2(k + 1)     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 k 1

(

)

det A = k 1 1 = k + k + k − 1 + 1 + k 3 = −k 3 + 3k − 2 1 1 k A = 0 : − k 3 + 3k − 2 = 0

i.

 x =1 A = −(x − 1)2 (x − 2 ) = 0 :  Ruffini x = −2

:

Discusión. Si k ≠ −2, 1 : |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado.

38

ii.

 1 −2 1    1 −2 Si k = −2: A =  − 2 1 1  |A| = 0, rg A < 3. = −3 ≠ 0 ; rg A = 2. −2 1  1  1 − 2   0   1 −2 1   1 −2 A* =  − 2 1 1 − 2  rg A* < 2. Los menores orlados a , son el − 2 1  1  1 −2 2   1 −2 0 determinante de la matriz de coeficientes (que es cero) y − 2

1 rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado.

iii.

1 1

− 2 = 0 , por lo tanto, 2

1 1 1  1 1 1 3      Si k = 1: A = 1 1 1 , sin necesidad de cálculo: rg A = 1. A* = 1 1 1 1  , 1 1 1  1 1 1 − 4      1 3 = −2 ≠ 0 ; rg A* = 2. rg A ≠ rg A*. Sistema incompatible 1 1

Modelo 2010. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema: + z = 2  x  + λy − z = 4  x − λx − y − z = − 5  se pide: a) (1 punto). Discutirlo para los distintos valores del parámetro /\. b) (1 punto). Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado. c) (1 punto). Resolverlo para λ = −2. Solución. a. El sistema viene definido por dos matrices, A (matriz de coeficientes) y A* (matriz ampliada). 0 1 0 1 2   1  1     A= 1 λ − 1 A* =  1 λ −1 4   − λ − 1 − 1  − λ − 1 − 1 − 5     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3 Siendo n el nº de incógnitas. Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, el tipo de solución del sistema se discute para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 0 1

(

)

det A = 1 λ − 1 = −λ + 0 − 1 − − λ2 + 0 + 1 = λ2 − λ − 2 = (λ + 1) ⋅ (λ − 2 ) − λ −1 −1 λ + 1 = 0 : λ = −1 A = 0 : (λ + 1) ⋅ (λ − 2) = 0 :  λ − 2 = 0:λ = 2 i.

Discusión: Si λ ≠ −1, 2. |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado.

39

ii.

1 0 1    1 0 Si λ = −1. A = 1 − 1 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3. = −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. 1 −1 1 − 1 − 1    2  1 0 1   1 0 A* = 1 − 1 − 1 4  De los dos menores orlados a , uno es el determinante de la 1 −1 1 − 1 − 1 − 5    1 0 2

4 = 9 ⇒ rg A* = 3. 1 −1 − 5

matriz de coeficientes, que es cero, y el otro es: 1 − 1

rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible.

iii.

0 1  1   1 0 Si λ = 2. A =  1 2 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3. = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. 1 2  − 2 − 1 − 1   0 1 2   1   1 0 A* =  1 2 − 1 4  De los dos menores orlados a , uno es el determinante de 1 2  − 2 − 1 − 1 − 5   1 0 2 2 4 = 0 ⇒ en la matriz − 2 −1 − 5 ampliada no existen menores de orden tres distintos de cero, rg A* = 2. rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado. la matriz de coeficientes, que es cero, y el otro es: 1

Para λ =2, el rango del sistema es 2, lo cual indica que el sistema solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes, que son las necesarias para resolver el sistema. Para seleccionar las ecuaciones linealmente independientes que nos permitan resolver el sistema, se escogen las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero que nos ha 1 0   , en este caso la 1ª y la 2ª. permitido definir el rango del sistema   1 2  +z =2 x S' :  x + 2 y + z = 4 Para resolver el sistema es necesario transformar una de las incógnitas en parámetro y resolver las otras dos en función del parámetro. Para evitar equivocaciones, recomiendo que se tome como parámetro la incógnita de los coeficientes que no se utilizaron en el menor de orden dos, en este caso la z. + z = 2 z =µ  x = 2−µ x S' :   → x + 2 y − z = 4 x + 2 y = 4 + µ Para resolver el sistema recomiendo el método de Cramer, aunque hay casos como este que el método de sustitución es bastante sencillo (la x está despejada en la 1ª ecuación y solo haría falta sustituirla en la segunda para despejar y). 2−µ 0 Ax 4 + µ 2 (2 − µ ) ⋅ 2 − 0 ⋅ (4 + µ ) 4 − 2µ x= = = = = 2−µ ; 1⋅ 2 − 0 ⋅ 2 2 A 1 0

b.

1 2

y=

Ay A

=

1 2−µ 1 4+µ 1 0 1 2

=

1⋅ (4 + µ ) − (2 − µ ) ⋅1 2 + 2µ = = 1+ µ 2 2

40

x = 2 − µ  Solución:  y = 1 + µ ∀ µ ∈ R  z=µ 

+z =2 x  λ = −2:  x − 2 y − z = 4 Sistema compatible determinado. La solución se obtiene por  2 x − y − z = −5  el método de Cramer.

c.

A(λ = −2) = (− 2)2 − (− 2 ) − 2 = 4

x=

Ax A

=

2 0 1 4 − 2 −1 − 5 −1 −1 4

z=

=

Ay − 12 = −3 ; y = = 4 A

Az A

=

1 0 2 1 −2 4 2 −1 − 5 4

=

1 2 1 1 4 −1 2 − 5 −1 4

=

− 24 = −6 4

20 =5 4

Solución: (−3, −6, 5)

Septiembre 2009. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos. Dado el sistema:

λx + 2 y + z = 0  λx − y + 2z = 0  x − λy + 2z = 0  se pide:

a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro A para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x=y=z=0 b) (1 punto). Resolver el sistema para x = 5. Solución. a. Sistema homogéneo, la matriz de coeficientes y la ampliada se diferencia en una columna de ceros, por lo tanto, tienen el mismo rango y como consecuencia el sistema es compatible para cualquier valor real del parámetro λ. Si A ≠ 0 : rg A = rg A* = n = 3. Sist. Compatible determinado (x = y = z = 0) Trivial rg A = rgA* ⇒ Sistema compatible :  Si A = 0 : rg A = rg A* ≠ n. Sist. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones

λ 2 1 A = λ − 1 2 = −2λ + 4 − λ2 − − 1 + 4λ − 2λ2 = λ2 − 6λ + 5 = (λ − 1) ⋅ (λ − 5) 1 −λ 2

(

)

λ −1 = 0 : λ = 1 A = 0 : (λ − 1) ⋅ (λ − 5) = 0 :  λ − 5 = 0 : λ = 5 Para que la solución sea distinta de la trivial (x = y = z = 0), λ =1 ó λ = 5

5x + 2 y + z = 0 2 1  b. λ = 5 : 5x − y + 2z = 0 A = 0 ⇒ rg A < 3 : = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = rgA* = 2 < n = 3 −1 2  x − 5 y + 2z = 0  Sistema compatible indeterminado con dos ecuaciones linealmente independientes, tal y como indica su rango.

41

5x + 2 y + z = 0 Sistema equivalente:  . El sistema se resuelve tomando una de las 5x − y + 2z = 0 variables como constante y transformándola en un parámetro. Es aconsejable tomar como parámetro la variable que no formo parte del menor de orden 2 que define el rango del sistema (x = λ).  2 y + z = −5λ  − y + 2z = −5λ Por el método de Cramer: − 5λ 1 2 − 5λ − 5λ 2 − 10λ + 5λ − 1 − 5λ − 10λ − 5λ y= = = −λ : z = = = −3λ 2 1 2 1 5 5

−1 2

−1 2

Solución: (λ, − λ, − 3λ ) ∀ λ ∈ R

Junio 2009. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema:

 4 x + 4λ y + 2 z = 2λ   λx + y − λz = λ  4λx + 4λy + λz = 9  se pide a) (2 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1 punto). Resolverlo para λ = −1. Solución. a. El sistema esta definido por la matrices de coeficientes (C) y ampliada (A).  4 4λ 2   4 4λ 2 2λ      C =  λ 1 − λ  A =  λ 1 − λ λ  C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rg A ≤ 3 = n  4λ 4λ λ   4λ 4λ λ 9     Si C ≠ 0 ⇒ rg C = rg A = 3 = n Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución para los valores de λ que anulan el determinante de C. 4 4λ 2 2 2λ 1

C = λ 1 − λ = 2λ ⋅ λ 4λ 4λ λ 4

1 4

1  − λ = −4λ ⋅ 5λ2 − 6λ + 1 = −20λ ⋅ (λ − 1) ⋅  λ −  5  1

(

)

 λ=0  1  C = 0 : −20λ ⋅ (λ − 1) ⋅  λ −  = 0 :  λ = 1 5  λ = 1 5  Discusión: i) ii)

Si a ≠ 0, 1, 1 a ≠ 0 rg C = rg A = n = 3. Sistema compatible determinado. 5  4 0 2   4 0 Si a = 0: C =  0 1 0  = 4 ≠ 0 rg C = 2. Para estudiar el rango de la ampliada 0 0 0 0 1    4 0 2 0   A =  0 1 0 0  se orla el menor de orden dos de la matriz de coeficientes. De los dos 0 0 0 9  

42

posibles menores orlados, uno es el determinante de C, que es cero, y el otro es: 4 0 0

0 1 0 = 36 ≠ 0 por lo tanto rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible. 0 0 9 4 4 2    4 2 Si a = 1: C =  1 1 − 1 = −6 ≠ 0 rg C = 2. Para estudiar el rango de la ampliada  4 4 1  1 −1    4 4 2 2   A =  1 1 − 1 1  se orla el menor de orden dos de la matriz de coeficientes. De los dos 4 4 1 9   posibles menores orlados, uno es el determinante de C, que es cero, y el otro es: 4 2 2

iii)

1 − 1 1 = −40 ≠ 0 por lo tanto rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible. 4 1 9 2   4 45  20 4 10    1  20 4 Si a = 1 : C =  1 5 1 − 1 5  =  1 5 − 1 = 96 ≠ 0 rg C = 2. Para 5 4 5 4 5 1 5  5  4 4 1  1 5     4 4 5 2 2 5   20 4 10 2    1  estudiar el rango de la ampliada A =  1 5 1 − 1 5 1 5  =  1 5 − 1 1  se orla 5 4 5 4 5 1 5  9    4 4 1 45  el menor de orden dos de la matriz de coeficientes. De los dos posibles menores orlados, 20 4 2

iv)

uno es el determinante de C, que es cero, y el otro es: 1

5 1 = 4224 ≠ 0 por lo tanto rg 4 45

4 A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible.

b.

4x − 4 y + 2z = −2  Para λ = −1:  − x + y + z = −1 Sistema compatible determinado. Cramer.  − 4x − 4 y − z = 9 

(

(

)

)

C = −4λ ⋅ 5λ2 − 6λ + 1 = {λ = 1} = −4 ⋅ (− 1) ⋅ 5 ⋅ (− 1)2 − 6 ⋅ (− 1) + 1 = 48

x=

Ax C

=

−2 −4 2 −1 1 1 9 − 4 −1 48

z=

=

Az C

Ay − 48 = −1 y = = 48 C

=

4 −4 4 −1 1 −1 −4 −4 9 48

=

4 −2 2 −1 −1 1 − 4 9 −1 48

− 48 = −1 48

Junio 2009. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos Dado el sistema:

 2x − y = λ  λx − 2 y = 4  3x − y = 2  se pide: a) (1,5 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1 punto). Resolver el sistema cuando sea posible

43

=

− 48 = −1 48

Solución. a. Sistema rectangular, 3 ecuaciones con dos incógnitas. Lo definen las matrices:  2 −1  2 −1 λ      rg C ≤ 2 C =  λ − 2  A =  λ − 2 4  C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rgA :  :n = 2 rg A ≤ 3  3 −1  3 −1 2      Si el determinante de A es distinto de cero, su rango será 3, y será distinto al rango de la matriz de coeficientes, siendo el sistema incompatible. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores de λ que anulan el determinante de la matriz ampliada. 2 −1 λ

A = λ − 2 4 = −λ2 + 8λ − 12 = −(λ − 2) ⋅ (λ − 6) 3 −1 2 λ − 2 = 0 : λ = 2 A = 0 : (λ − 2 ) ⋅ (λ − 6) = 0 :  λ − 6 = 0 : λ = 6 Discusión: i) Si λ ≠ 2, 6. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible.  2 −1   2 −1 Si λ = 2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . C =  2 − 2  = −2 ≠ 0 ⇒ rg C = 2 Teniendo en ii)  3 −1 2 − 2   cuenta que la ampliada no puede tener menor rango que la de coeficientes, se puede concluir que rg C = rg A = n = 2 . Sistema compatible determinado. iii)

b.

 2 −1   2 −1 Si λ = 6, A = 0 ⇒ rg A < 3 . C =  6 − 2  = 2 ≠ 0 ⇒ rg C = 2 Teniendo en  3 −1 6 − 2   cuenta que la ampliada no puede tener menor rango que la de coeficientes, se puede concluir que rg C = rg A = n = 2 . Sistema compatible determinado.  2x − y = 2 λ = 2:  Se resuelve por cualquier método obteniendo: 2 x − 2 y = 4

x=0   y = −2

 2x − y = 6 λ = 6:  Se resuelve por cualquier método obteniendo: 6x − 2 y = 4

 x = −4   y = −14

Modelo 2009. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 2 puntos Dado el sistema de ecuaciones:

 x − y=3  2 x − 3 y = 2 k  3x − 5 y = k  a) (1 punto). Discutirlo según los distintos valores del parámetro k. b) (1 punto). Resolverlo en los casos en que sea posible. Solución. a. Sistema rectangular, 3 ecuaciones con dos incógnitas. Lo definen las matrices:  2 −1  2 −1 λ      rg C ≤ 2 C =  λ − 2  A =  λ − 2 4  C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rgA :  :n = 2 rg A ≤ 3  3 −1  3 −1 2      Si el determinante de A es distinto de cero, su rango será 3, y será distinto al rango de la matriz de coeficientes, siendo el sistema incompatible. Se discute el tipo de solución del sistema para los valores de λ que anulan el determinante de la matriz ampliada.

44

2 −1 λ A = λ − 2 4 = −λ2 + 8λ − 12 = −(λ − 2) ⋅ (λ − 6) 3 −1 2 λ − 2 = 0 : λ = 2 A = 0 : (λ − 2 ) ⋅ (λ − 6) = 0 :  λ − 6 = 0 : λ = 6 Discusión: iv) Si λ ≠ 2, 6. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3 ≠ rg C. Sistema incompatible.  2 −1   2 −1 Si λ = 2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . C =  2 − 2  = −2 ≠ 0 ⇒ rg C = 2 Teniendo en v)  3 −1 2 − 2   cuenta que la ampliada no puede tener menor rango que la de coeficientes, se puede concluir que rg C = rg A = n = 2 . Sistema compatible determinado. vi)

b.

 2 −1   2 −1 Si λ = 6, A = 0 ⇒ rg A < 3 . C =  6 − 2  = 2 ≠ 0 ⇒ rg C = 2 Teniendo en  3 −1 6 − 2   cuenta que la ampliada no puede tener menor rango que la de coeficientes, se puede concluir que rg C = rg A = n = 2 . Sistema compatible determinado.  2x − y = 2 λ = 2:  Se resuelve por cualquier método obteniendo: 2 x − 2 y = 4

x=0   y = −2

 2x − y = 6  x = −4 Se resuelve por cualquier método obteniendo:  λ = 6:  6x − 2 y = 4  y = −14

Septiembre 2008. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 2 puntos Resolver el siguiente sistema:

 x − 2 y + z − 3v = − 4  x + 2 y + z + 3v = 4   2 x − 4 y + 2 z − 6 v = − 8 2x + 2z = 0 Solución. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que se puede simplificar por criterios de equivalencia. Los criterios de equivalencia empleados son: i. Si dos ecuaciones son iguales ó proporcionales, eliminar una de ellas. ii. Si una ecuación es combinación lineal del resto de las ecuaciones, eliminarla. Los criterios de equivalencia quedan más claros en la matriz asociada al sistema. 1 − 2 1 − 3 M − 4    1 2 1 3 M 4   E 3 = 2E 1   1 − 2 1 − 3 M − 4   2 − 4 2 − 6 M − 8  = E = E − E  =  2 0 2 0 M 0  4 1      2 2 0 2 0 M 0   

 x − 2 y + z − 3v = − 4 S' ≡  : + 2y = 0 2 x

 x − 2 y + z − 3v = − 4 S' ≡  +y = 0 x

Teniendo en cuenta que x + y = 0, y aplicando en la 1ª ecuación, el sistema queda:  − 2 y − 3v = − 4 2 y + 3v = 4 S' ≡  : S' ≡  x + z = 0   x +z = 0

45

Sistema de 2 ecuaciones con cuatro incógnitas, para resolverlo se necesitan dos parámetros.  x = −λ z =λ 3  2 y + 3v = 4 v =µ 2 y = 4 − 3µ  y = 2 − µ 2 ∀ λ, µ ∈ ℜ S' ≡   → : −λ  z = λ  x +z = 0 x =  v=µ 

Junio 2008. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: x − ay = 2  ax − y = a + 1 se pide: . a) (2 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única. b) (1 punto). Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2. Solución. a. El sistema está definido por la matriz de coeficientes (A) y por la ampliada. (A*). 2  1 − a  1 − a   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * A =  A* =   a −1   a − 1 a + 1 Si |A| ≠ 0, rg A = rg A* = n = 2, el sistema es compatible determinado, por lo tanto se estudia el tipo de solución para los valores del parámetro que anulan el |A|. 1 −a det A = = −1 + a 2 : A = 0 : −1 + a 2 = 0 : a = ±1 a −1 Discusión: Si a ≠ ±1: |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 2. Sistema compatible determinado. Solución única. i. Se puede resolver por cualquier método, aunque recomiendo el método de Cramer. 2 −a Ax a + 1 − 1 − 2 + a ⋅ (a + 1) a 2 + a − 2 (a + 2 )(a − 1) a + 2 x= = = = = = (a + 1)(a − 1) a + 1 A a 2 −1 a 2 −1 a 2 −1

y=

ii.

Ay A

=

1 2 a a +1 2

a −1

=

a + 1 − 2a 2

a −1

=

1− a 2

a −1

=

− (a − 1) −1 = (a + 1)(a − 1) a + 1

1 − 1 1 − 1 2   |A| = 0 ⇒ rg A < 2. |1| ≠ 0 ⇒ rg A = 1. A* =   . De los Si a = 1: A =  1 − 1   1 − 1 2  menores orlados al menor de orden 1, solo queda por estudiar el menor formado por la 1ª y 1 2 3ª columna; = 0 rg A* = 1 = rg A < n = 2. Sistema compatible indeterminado. 1 2 Infinitas soluciones. Sistema equivalente: S' : {x − y = 2

iii.

b.

1 1  1 1 2  |A| = 0 ⇒ rg A < 2. |1| ≠ 0 ⇒ rg A = 1. A* =   . De Si a = −1: A =  − 1 − 1    −1 −1 0  los menores orlados al menor de orden 1, solo queda por estudiar el menor formado por la 1ª 1 2 y 3ª columna; ≠ 0 rg A* = 2 ≠ rg A. Sistema incompatible. −1 0 Hay que estudiar si para los sistemas compatibles existe una solución en la que y =2. -Sistema compatible determinado:

−1 3 y=2= :a = − :x = a +1 2

46

3 +2 2 = −1 3 − +1 2

−

3 existe una solución en la que y = 2 que es el punto (−1, 2). 2 - Sistema compatible indeterminado: x − y = 2 : x = 4 . Existe una solución en la que y = 2 que es el punto (4, 2). Para a = 1: S' :   y=2

Para a = −

Modelo 2008. 3A. (3 puntos). Dado el sistema de ecuaciones lineales x + y + mz = m + 2    2x + (m + 1)y + (m + 1)z = −m (m + 2)x + 3y + (2m + 1)z = 3m + 4  Se pide: a) (2 puntos). Discutirlo según los valores del parámetro real m b) (1 punto). Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Solución. a. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, definido por las matices de coeficientes (A) y la ampliada (A*). 1 m  1 m m+2   1  1     A= 2 m + 1 m + 1  A* =  2 m +1 m +1 − m  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 m + 2 m + 2 3 2m + 1 3 2m + 1 3m + 4    Si |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n (número de incógnitas), el sistema será compatible determinado. Por lo tanto, teniendo en cuenta lo anterior, el tipo de solución del sistema se hace para los valores del parámetro m que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (|A| = 0). 1 1 m

A =

2 m + 1 m + 1 = 1 ⋅ (m + 1) ⋅ (2m + 1) + 1⋅ (m + 1) ⋅ (m + 2) + 2 ⋅ 3 ⋅ m − m+2 3 2m + 1

(m ⋅ (m + 1) ⋅ (m + 2) + 1⋅ 2 ⋅ (2m + 1) + 1⋅ (m + 1) ⋅ 3) = −m 3 + 3m − 2

= − (m − 1)2 (m + 2)

Ruffini

 m =1 A = 0 : −(m − 1)2 (m + 2) = 0 :   m = −2

Discusión. i.

ii.

Si m ≠ 1, −2. En este caso, |A| ≠ 0 y por tanto, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado (solución única. Cramer) 1 1 1   Si m = 1. A =  2 2 2  . En la matriz A solo existen menores de orden uno distintos de  3 3 3   1 1 1 3    cero, por lo tanto, rg A = 1. A* =  2 2 2 − 1 . Existen menores de orden dos distintos 3 3 3 7    1 3  de cero  = −6 ≠ 0  , por lo tanto rg A* = 2. rg A = 1 ≠ rg A* = 2. Sistema  2 −1  incompatible (no tiene solución).

47

iii.

1 1 − 2   Si m = −2. A =  2 − 1 − 1  . |A| = 0, rg A < 3. Existen menores de orden dos distintos de 0 3 − 3   1 1 − 2 0    1 1  cero  = −3 ≠ 0  , por lo tanto rg A = 2. A* =  2 − 1 − 1 2  . Teniendo en  0 3 − 3 − 2  2 −1    cuenta que A ⊂ A*, rg A* ≥ 2. Tomando como referencia el menor de orden dos

1 1 , 2 −1

sus menores orlados son el formado por las tres primeras columnas (el determinante de la matriz de coeficiente, que es cero y no hay que volver a estudiar), y el formado por la 1ª, 2ª 1 1 0 y 4ª columna. 2 − 1

0

3

2 = 0 No existen menores de orden 3 distintos de cero, rg A* = 2. −2

rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones). El sistema equivalente esta formado por ecuaciones. Para seleccionar las linealmente independientes, se escogen las que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero utilizado para determinar el rango (1ª y 2ª ecuación).  x + y − 2z = 0 S' :  2 x − y − z = 2 Según el apartado a del ejercicio, el sistema presenta infinitas soluciones cuando m= −2,  x + y − 2z = 0 quedando en ese caso el sistema: S' :  2 x − y − z = 2 Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, para resolverlo hay que tomar una variable como constante y transformarla en un parámetro (λ). Para asegurarnos que tomamos como constante una variable adecuada, escogemos la variable de de los coeficientes no usados en el menor de orden 2 (z, de esta forma, aseguramos de que el determinante de la matriz de coeficientes que queda después de la transformación es distinto de cero).  x + y − 2 z = 0 z = λ  x + y = 2λ →  2 x − y − z = 2 2 x − y = 2 + λ Resolvemos por Cramer. 2λ 1

b.

x=

2 + λ −1

y=

1 1 2 −1 1 2λ 2 2+λ 1 1 2 −1

=

λ ⋅ (− 1) − 1 ⋅ (2 + λ ) − 2 − 3λ 2 = = +λ 1 ⋅ (− 1) − 1 ⋅ 2 −3 3

=

1 ⋅ (2 + λ ) − 2λ ⋅ 2 2 − 3λ 2 = = − +λ −3 −3 3

2 2  Solución:  + λ, − + λ, λ  ∀ λ ∈ R 3 3 

Septiembre 2007. Ejercicio 3A. (3 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales  x + (k + 1)y + 2z = −1  kx + y + z = k  (k − 1)x − 2 y − z = k + 1  se pide: a) (2 puntos). Discutirlo según los distintos valores del parámetro k.

48

b) (1 punto). Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Solución. a. El sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas, viene definido por las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*). k +1 2  k +1 2 −1   1  1     A= k 1 1 A* =  k 1 1 k   k − 1 − 2 − 1  k − 1 − 2 − 1 k + 1     A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 Si el determinante de la matriz de coeficientes (A) fuese distinto de cero, el rango de A seria 3 y coincidiría con el rango de la ampliada que como máximo puede ser 3 debido a sus dimensiones (3×4), que además coincide con el número de incógnitas por lo que el sistema sería compatible determinado (solución única). Teniendo en cuenta esto, el sistema se discute a partir de los valores del parámetro que anulan el determinante de A. 1 k +1 2

det A =

k k −1

1 −2

1 = −1 + (k + 1)(k − 1) + (− 4k ) − (2(k − 1) + (− k )(k + 1) + (− 2)) = 2k 2 − 5k + 2 −1

Se factoriza y se iguala a cero.

k = 1 2 A = (2k − 1)(k − 2) : A = 0 :   k = 2 Discusión: i. Si k ≠ 1/2, 2. |A| ≠ 0. rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Solución única. Método de Cramer. 32 2  1   1 32 1 ii. Si k = 1/2. A =  1 2 1 1  |A| = 0. rg A < 3. = ≠ 0 rg A = 2. 12 1 4  − 1 2 − 2 − 1   3 2 2 −1   1   A* =  1 2 1 1 1 2  rg A* ≥ 2. Para saber si puede tener rango 3, y tomando como  −1 2 − 2 −1 3 2   1 32 menor de referencia , solo queda por estudiar uno de sus menores orlados. 12 1

1 3 2 −1 3 12 1 1 2 = ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible. 2 −1 2 − 2 3 2 iii.

2 1 3   1 3 Si k = 2. A =  2 1 1  |A| = 0. rg A < 3. = −5 ≠ 0 rg A = 2. 2 1  1 − 2 − 1   2 − 1 1 3   A* =  2 1 1 2  rg A* ≥ 2. Para saber si puede tener rango 3, y tomando como 1 − 2 −1 3    menor de referencia

1 3 , solo queda por estudiar uno de sus menores orlados. 2 1

1 3 −1 2 1 2 = 0 , rg A* = 2 = rg A ≠ n. Sistema compatible indeterminado. Infinitas 1 −2 3 soluciones. El rango del sistema indica que solo hay dos ecuaciones linealmente

49

independientes. El sistema equivalente está formado por las dos ecuaciones que contengan 1 3 . los coeficientes del menor de orden 2 que da rango al sistema   2 1 x + 3y + 2z = −1 S' :   2 x + y + 2z = 2

x + 3y + 2z = −1 Para k = 2. S' :  Sistema de 2 ecuaciones con tres incógnitas. El sistema se  2 x + y + 2z = 2 resuelve transformando una variable en parámetro y resolviendo las otras dos en función del parámetro. Para no equivocarnos en la elección del parámetro se transforma la variable que no se ha utilizado en el menor de orden 2, de esta forma nos aseguramos que el determinante de la matriz de coeficientes que queda es distinto de cero.  x + 3 y + 2 z = −1 z = λ  x + 3 y = −1 − 2 λ S' :  →  2 x + y + 2z = 2  2 x + y = 2 − 2λ − 1 − 2λ 3 1 − 1 − 2λ Ay Ax 2 − 2λ 1 − 7 + 4λ 7 4 2 2 − 2λ 4 + 2λ 4 2 x= = = = − λ y= = = =− − λ −5 5 5 −5 5 5 A 1 3 A 1 3 b.

2 1

2 1 4 2 7 4  S =  − λ, − − λ, λ,  ∀ λ ∈ R 5 5 5 5 

Septiembre 2007. Ejercicio 2B. (2 puntos) Dado el sistema de ecuaciones  x + 2 y − 3z = 3  2 x + 3 y + z = 5 se pide: a) (1 punto). Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax + y + bz =1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) (1 punto). Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4. Solución.  x + 2 y − 3z = 3  1 2 − 3  1 2 − 3 3  , A* =   . a. El sistema  se define por las matrices A =  2 x + 3 y + z = 5 2 3 1   2 3 1 5 A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 2 ≠ n = 3

1 2 = −1 ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado. 2 3 Si se añade una tercera ecuación con parámetros y queremos que sigua teniendo el mismo tipo de solución (compatible indeterminada), el rango de las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A*) debe seguir siendo 2.  x + 2 y − 3z = 3  1 2 − 3  1 2 − 3 3      A = 2 3 1  A* =  2 3 1 5   2 x + 3y + z = 5 a 1 b   a 1 b 1  ax + y + bz = 1      Partiendo del hecho conocido de que en la matriz A existe un menor de orden dos distinto de 1 2  ≠ 0  , para que rg A = 2 el único menor de orden 3 de la matriz debe ser nulo. cero  2 3 

50

1 2 −3 det A = 2 3 1 = 11a − b − 7 : A = 0 ⇒ 11a − b − 7 = 0 a 1 b Para que rg A* = 2 todos sus menores de orden 3 deben ser nulos. Tomando como referencia el 1 2 menor , deberán ser nulos sus menores orlados. 2 3

1 2 −3 1 2 3 2 3 1 = 11a − b − 7 = 0 : 2 3 5 = a = 0 a 1 b a 1 1 Las dos condiciones permiten plantear un sistema de dos ecuaciones . 11a − b = 7  a = 0 :   a = 0  b = −7

b. Que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4, se convierte en una tercera ecuación que permite resolver el sistema 1 2 −3  x + 2 y − 3z = 3  det A = 2 3 1 = 3 ≠ 0. Sistema compatible determinado (Cramer). 2 x + 3 y + z = 5  x+y+z = 4 1 1 1 

x=

Ax A

=

3 2 −3 5 3 1 4 1 1 3

=

Ay 25 : y= = 3 A

1 3 −3 2 5 1 1 4 1 3

 25 11 2  Solución  , − , −  3 3  3

51

=

Az − 11 : z= = 3 A

1 2 3 2 3 5 1 1 4 3

=

−2 3

Modelo 2007. 3A. (3 puntos). Dado el sistema de ecuaciones:  x + ky + k 2 z = 1  2  x + ky − kz = k − x + ky − k 2 z = k 2  a) (2 puntos). Discutirlo según los distintos valores de k. b) (1 punto). Resolverlo para k = −1. Solución. a. Se pide discutir el tipo de solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en función de un parámetro k. El sistema viene descrito por dos matrices:

 1 k k2   1 k k2 1     A = 1 k −k  A* =  1 k − k k 2      −1 k − k 2  −1 k − k 2 k 2      A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ n = 3 Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, los rangos de las dos matrices y el número de incógnitas coinciden. El sistema es compatible determinado. Teniendo en cuenta esto, se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 k k2 1 1 k A = 1 k − k = k 2 1 1 − 1 = 2k 2 (k + 1) −1 k − k 2 −1 1 − k k=0 A = 0 ⇒ 2k 2 (k + 1) = 0 :   k = −1 Discusión: I.

Si k ≠ 0, −1. En estos casos A ≠ 0 , por lo tanto rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. La solución se puede obtener por el método de Cramer.

II.

 1 0 0  1 0 0 1     Si k = 0. A =  1 0 0  A* =  1 0 0 0  En este caso A = 0 , todos los menores  −1 0 0  −1 0 0 0      de orden 2 también son nulos (cualquier menor de orden dos que escojamos tendrá una columna de ceros) y solo existen menores de orden 1 distintos de cero, por lo tanto rg A = 1. En la ampliada existen menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo el formado por las 1 1 = −1 ≠ 0 , rg A* = 2. Como los rangos son distintos, filas 1 y 2 y las columnas 1 y 4, 1 0 sistema incompatible (no tiene solución).

III.

 1 −1 1   1 − 1 1 1     Si k = −1. A =  1 − 1 1  A* =  1 − 1 1 1 En este caso A = 0 , por lo tanto  − 1 − 1 − 1  − 1 − 1 − 1 1     rg A < 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero, por ejemplo el formado por la F2, 1 −1 F3, C1 y C2: = −2 ≠ 0 , por lo tanto rg A = 2. Para calcular el rengo de la ampliada −1 −1 solo nos queda por comprobar un menor de orden dos, el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna.

52

1 −1 1 1 − 1 1 = 0 , por lo tanto, rg A* = 2 = rg A < n = 3. Sistema compatible indeterminado. −1 −1 1 La solución del sistema se obtiene con dos ecuaciones, para asegurarnos que escogemos las linealmente independientes se toman las ecuaciones que contengan al menor de orden 2  x − y+ z =1 distinto de cero, en este caso la 2ª y la 3ª, obteniendo el sistema S' :  − x − y − z = 1

b.

 x − y+ z =1 Para k = −1: S' :  − x − y − z = 1 Para resolver el sistema se transforma z en un parámetro λ y se resuelve x e y en función de λ.  x − y = 1− λ S' :  − x − y = 1 + λ Aplicando Cramer: 1 − λ −1

x=

1+ λ −1 1 −1 −1 −1

=

2λ = −λ −2

y=

1 1− λ −1 1 + λ 1 −1 −1 −1

=

2 = −1 −2

Solución: (−λ, −1, λ) ∀ λ ∈ R

Septiembre 2006. Ejercicio 1B. (2 puntos) a) (1 punto). Resolver el sistema de ecuaciones:  x + y − 3z = 0  2 x + 3 y − z = 5 b) (1 punto). Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4. Solución. a. Sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, que por tanto solo podrá ser compatible indeterminado ó, incompatible. El sistema viene definido por las siguientes matrices  1 1 − 3 1 1 − 3 0   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 2 A =  A* =   2 3 −1  2 3 −1 5  Rango de A: 1 1 = 3 − 2 = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A* < n = 3 2 3 Sistema compatible indeterminado. Para resolverlo se toma una variable como constante y se trasforma en parámetro (z = λ), resolviendo las otras dos variables en función del parámetro.  x + y − 3z = 0 z =λ  x + y = 3λ  →   2 x + 3y − z = 5 2 x + 3 y = 5 + λ Aplicando el método de Cramer: 3λ 1 1 3λ

x=

5+λ 3 1 1 2 3

=

2 5 + λ 5 − 5λ − 5 + 8λ = −5 + 8λ : y = = = 5 − 5λ 1 1 1 1 2 3

Solución: (−5+8λ, 5−5λ, λ) ∀ λ ∈ R

b.

Se pide buscar la solución en la que las tres componentes suman 4. −5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 : 4λ = 4 : λ = 1

53

Solución: (3, 0, 1)

Junio 2006. 1A. (2 puntos). Dado el sistema homogéneo:  x + ky − z = 0   kx − y + z = 0 (k + 1)x + y = 0  averiguar para qué valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en tales casos. Solución. Sistema homogéneo (términos independientes nulos). Se caracteriza por que la matiz de coeficientes y la ampliada son iguales (A = A*). A = A * ⇒ rg A = rg A * • •

Admite dos casos: Si |A| ≠ 0, sistema compatible determinado (S.C.D.). Solución trivial (x = y = z = 0). Si |A| = 0, sistema compatible indeterminado (S.C.I.). Infinitas soluciones.

Teniendo en cuenta lo anterior se discute el sistema en función de los valores del parámetro k que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.

k − 1  1   A= k −1 1  k +1 1 0   

1 k −1 det A = k − 1 1 = k 2 − k − 2 = (k + 1)(k − 2) k +1 1 0

k = −1 det A = 0 : (k + 1)(k − 2) = 0 :  k=2 Discusión: i. Si k ≠ −1, 2. |A| ≠ 0. rg A = rg A* = n = 3. S.C.D. Solución trivial. x = y = z = 0  1 − 1 − 1   −1 −1 ii. Si k = −1. |A| = 0. rg A = rg A* < 3. A =  − 1 − 1 1  = −1 ≠ 0 0 1 0 1 0   rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado. x = λ − x − y + z = 0 z =λ  → y = 0 ∀ λ ∈ R. Sistema equivalente: S' :  y=0  z = λ 

 1 2 − 1   2 −1 iii. Si k = 2. |A| = 0. rg A = rg A < 3. A =  2 − 1 1  =5≠0 3 1 0  3 1   rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado.  x=λ  x + 2 y + z = 0 x =λ  → y = −3λ ∀ λ ∈ R. Sistema equivalente: S' :   3x + y = 0  z = −5λ  *

54

Modelo 2006. Ejercicio 3A. (3 puntos). Dado el sistema de ecuaciones:  2 x + 3y − z = k   x + 2 y + 3z = 2 kx + ky − 4z = −1  a) (2 puntos). Discutido según los distintos valores de k. b) (1 punto). Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. Solución. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro k. Lo definen las matrices:  2 3 −1  2 3 −1 k      * A = 1 2 3  A = 1 2 3 2  k k − 4  k k − 4 − 1    

a.

A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ 3 Si el determinante de la matriz de coeficientes ( A ) fuese distinto de cero, el rango de la matriz será 3, coincidirá con el rango de la matriz ampliada y con el número de incógnitas del sistema, según el teorema de Rouché es sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta esto, el sistema se discute para los valores del parámetro que anulan la matriz de coefiecientes. 2 3 −1

A = 1 2 3 = −16 + 9k − k − (− 2k − 12 + 6k ) = 4k − 4 k k −4 A = 0 : 4k − 4 = 0 : k = 1 Discusión i.

Si k ≠ 1. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A * = n = 3 Sistema compatible determinado. Sistema de Cramer.

ii.

 2 3 −1    Si k = 1. A =  1 2 3  1 1 − 4  

A = 0 ⇒ rg A < 3.

2 3 = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. 1 2

 2 3 −1 1    A = 1 2 3 2  rg A * ≥ 2. De los menores orlados al menor de orden 2 que se ha  1 1 − 4 − 1   *

utilizado para definir el rango de A, el único que queda por estudiar es el formado por la 1ª, 2 3 1

2 = 0 ⇒ rg A * = 2. rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible 1 1 −1

2ª y 4ª columna. 1 2 indeterminado.

b. Para k = 1, el sistema equivalente es el formado por la ecuaciones que contienen a los términos del menor de orden 2 utilizado para establecer el rango.  2 x + 3y − z = 1 S' :  x + 2 y + 3z = 2 Puesto que el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones, se transforman en parámetros tantas incógnitas como hagan falta para igualarlos.  2 x + 3y = 1 + λ z = λ: x + 2 y = 2 − 3λ Resolviendo por Cramer:

55

x=

1+ λ 3 2 − 3λ 2 2 3 1 2

= −4 + 11λ

y=

2 1+ λ 1 2 − 3λ 2 3 1 2

= 3 − 7λ

x = −4 + 11λ  Solución:  y = 3 − 7λ ∀λ∈R z = λ 

Junio 2005. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema de ecuaciones (m − 1)x + y + z = 3   mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1  x + 2 y + (m − 2 )z = 4 

a) ( 1’5 puntos ) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a. b) ( 1’5 puntos ) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. Solución. a. El sistema viene definido por dos matrices. 1 1  1 1 3   m −1  m −1     A= m m −1 3  A* =  m m −1 3 2m − 1  1  1 2 m − 2  2 m−2 4    A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ n = 3 Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, los rangos de las dos matrices y el número de incógnitas coinciden. El sistema es compatible determinado. Teniendo en cuenta esto, se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. m −1 1 1  m = −1  3 2 det A = m m −1 3 = m − 5m + 2m + 8 = (m + 1)(m − 2 )(m − 4 ) = 0 :  m = 2 m=4 1 2 m−2  Discusión. i.

Sí m ≠ −1, 2, 4. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado. En todos estos casos se puede resolver por el método de Cramer.

ii.

1  − 2 1   Sí m = −1. A =  − 1 − 2 3   1 2 − 3  

iii. 1 3  − 2 1   A* =  − 1 − 2 3 − 3   1 2 − 3 4  

A =0

rg A < 3.

−2 1 = 5 rg A = 2 −1 − 2

rg A* ≥ 2 . El único menor de orden 3 que queda por estudiar, (orlado al −2

1

3

menor de orden 2 que da rango a la matriz de coeficientes) es − 1 − 2 − 3 = 5 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3

1

2

4

rg A ≠ rg A * . Sistema incompatible

iv.

1 1 1   Sí m = 2. A =  2 1 3  A = 0 rg A < 3 1 2 0  

56

1 1 = −1 ≠ 0 rg A* = 2 2 1

1 1 1 3   A* =  2 1 3 3  1 2 0 4  

rg A* ≥ 2 . El único menor de orden 3 que queda por estudiar, (orlado al menor de 1 1 3

orden 2 que da rango a la matriz de coeficientes) es 2 1 3 = 2 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3

1 2 4 rg A ≠ rg A * . Sistema incompatible 3 1 1   3 1 v. Sí m = 4. A =  4 3 3  A = 0 rg A < 3. = 5 rg A = 2 4 3 1 2 2    3 1 1 3   A* =  4 3 3 7  rg A* ≥ 2 . El único menor de orden 3 que queda por estudiar, (orlado al menor de 1 2 2 4   3 1 3 orden 2 que da rango a la matriz de coeficientes) es 4 3 7 = 0 ⇒ rg A* = 2 1 2 4 rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3 . Sistema compatible indeterminado. b. Para m = 4 el sistema es compatible indeterminado de rango 2, lo cual indica que solo hay dos ecuaciones linealmente independientes. Para asegurarse que las dos ecuaciones que se toman sean linealmente independientes, se escogen las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden 2 que ha utilizado para obtener el rango del sistema.  3x + y + z = 3 S′ :  4 x + 3y + 3z = 7 Para resolver el sistema se convierte una variable en parámetro (z = λ)  3x + y = 3 − λ S′ :  4x + 3y = 7 − 3λ Resolviendo por el método de Cramer 3−λ 1 Ax 7 − 3λ 3 2 x= = = 5 A 3 1

y=

Ay A

=

3 3−λ 4 7 − 3λ 5

4 3 2 9  Solución:  , − λ, λ  ∀ λ ∈ R 5 5 

57

=

9 − 5λ 9 = −λ 5 5

Junio 2005. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 2 puntos a) (1 punto). Resolver el sistema de ecuaciones: x + 2 y + 3z = 1   2x + y − z = 2 b) (1 punto). Hallar dos constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: 5x + y + αz = β el sistema resultante sea compatible indeterminado. Solución. a. El sistema viene definido por las matrices: 1 2 3  1 2 3 1   A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 2 ; n = 3 A =  A* =   2 1 − 1  2 1 −1 2 Teniendo en cuenta que

1 2 = −3 ≠ 0 ⇒ rg A = rgA* = 2 < n = 3 . Sistema compatible 2 1

indeterminado. Para resolverlo hay que tomar una de las variable como parámetro (z = λ) x + 2 y = 1 − 3λ   2x + y = 2 + λ Resolviendo por Cramer: 1 − 3λ 2 1 1 − 3λ A Ax 2 + λ 1 − 3 − 5λ 2 2+λ y 5 7λ 7 x= = = = 1+ λ x= = = =− λ −3 3 −3 3 A 1 2 A 1 2

2 1

2 1 7  5  Solución: 1 + λ, − λ, λ  ∀ λ ∈ R 3 3  

b.

 x + 2 y + 3z = 1 1 2 3  1 2 3 1      A =  2 1 − 1 A* =  2 1 - 1 2   2x + y − z = 2 5 1 α   5 1 α β 5x + y + αx = β      Para que el sistema resultante sea compatible indeterminado partiendo del sistema anterior, se debe cumplir: rg A* = 2 ya que la matriz de coeficientes (A) nunca puede tener rango superior al de la ampliada (A*). 1 2 Si se toma como menor de referencia = −3 ≠ 0 , la condición que se debe cumplir es que 2 1 todos los menores de orden 3 orlados al de referencia sean nulos. 1 2 3 A = 2 1 − 1 = −3α − 18 = 0 : α = −6 5 1 α 1 2 1 A = 2 1 2 = 15 − 3β = 0 : β = 5 5 1 β

58

Modelo 2005. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos. a) (2 puntos) Discutir según los valores del parámetro A el sistema  2λ x + 2 y + λ z = 1   x + λy − z = 1  4 x + 3 y + z = 2λ  b) (1 punto) Resolver el sistema anterior en los casos en que sea compatible. Solución. a.

El sistema viene definido por las matrices:  2λ 2 λ   2λ 2 λ 1     *  A =  1 λ − 1 A =  1 λ −1 1  4 3 1  4 3 1 2λ     

Por las dimensiones de las dos matrices: A ⊂ A * ; rg A ≤ rg A * ≤ n = 3

El sistema se discute para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficiente, ya que para todos los demás el sistema será compatible determinado. 2λ 2 λ 5  x = A = 1 λ − 1 = −2λ2 + 9λ − 10 = 0 :  2  x = 2 4 3 1

Discusión: 5 I) Si a ≠ ,2. El A ≠ 0 y por tanto rg A = rg A * = n = 3 . Sistema compatible determinado. Solución 2 por el método de Cramer

5 2 5 2   5 5 II) Si a = ; A =  1 5 2 − 1  : A = 0; rg A < 3. 4 2 4 3 1   5 2 que resta por estudiar en la matriz ampliada es: 1 5 2 4 3

2 ≠ 7 ⇒ rg A = 2 . El único menor de orden 3 3 1 77 1= ≠ 0 ⇒ rg A * = 3 . rg A ≠ rg A*. 2 5

Sistema incompatible

4 2 2  4 2 2 1    4 2 *  III) Si a = 2 : A =  1 2 - 1 : A = 0 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . A =  1 2 − 1 1  : rg A * ≥ 2 . El 1 2 4 3 1   4 3 1 4     4 2 1 único menor de orden 3 que resta por estudiar es: 1 2 1 = 15 ≠ 0 ⇒ rg A * = 3 . rg A ≠ rg A*. 4 3 4 Sistema incompatible

b.

x=

Ax A

=

1 2 λ 1 λ −1 2λ 3 1 − (2λ − 5)( · λ − 2)

=

1 − 2λ3 2λ3 − 1 = − (2λ − 5)( · λ − 2 ) (2λ − 5)( · λ − 2)

59

y=

z=

Ay A

Az A

=

=

2λ 1 λ 1 1 −1 4 2λ 1 − (2λ − 5)( · λ − 2) 2λ 2 1 1 λ 1 4 3 2λ − (2λ − 5)( · λ − 2)

=

6λ2 − 2λ − 5 − (2λ − 5)( · λ − 2)

=

4λ3 − 14λ + 11 − (2λ − 5)( · λ − 2)

Modelo 2005. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 2 puntos. Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un parámetro real: − ax + 4 y + az = −a   4x + ay − az = a  − x − y+ z =1  Se pide: a) (1 punto) Discutir el sistema. b) ( 1 punto) Resolver el sistema para a = l. Solución. a. El sistema viene definido por las matrices: a  a −a − a 4 − a 4    *  A= 4 a −a A = 4 a −a a   −1 −1 1   −1 −1 1 1    

A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ n = 3 Si el determinante de la matriz de coeficiente es distinto de cero, el sistema es compatible determinado, por lo que se discute las soluciones del sistema en función de los valores del parámetro que anulan el determinante de A. −a 4 a 0 4+a a 0 4+a  c1 = c1 + c 3  A = 4 a −a =  0 − a = 1·(− 1)3+3  = 4−a 4−a 0 c 2 = c 2 + c 3  −1 −1 1 0 0 1 a = −4 A = −(4 + a )( · 4 − a) = a 2 − 42 = 0 :  a=4 Discusión: I) Si a ≠ ±4 ⇒ A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A * = n = 3 S.C.D. II) Si a = 4. A = 0 : rg A < 3

4  − 4 4   −4 4 A= 4 4 − 4 : ≠ 0; rg A = 2  −1 −1 1  4 4   4 − 4 −4 4 −4 − 4 4   * A = 4 4 − 4 4  : rg A ≥ 2 : 4 4 4 ≠ 0; rg A * = 3  −1 −1 1 1  −1 −1 1  rg A ≠ rg A*. Sistema incompatible III) Si a = −4 : A = 0; rg A < 3

60

4 − 4 4   4 4 A = 4 −4 4  : ≠ 0; rg A = 3  −1 −1 1  4 − 4   4 −4 4  4 4 4 4   * * A =  4 − 4 4 − 4  : rg A ≥ 2 : 4 − 4 − 4 ≠ 0; rg A * = 3  −1 −1 1 1  −1 −1 1  rg A ≠ rg A*. Sistema incompatible  − x + 4 y + z = −1  a = 1 :  4x + y − z = 1 : A = 12 − 4 2 = −15 . Aplicando el método de Cramer:  −x − y+z =1 

b.

x=

−1 4 1 1 1 −1 1 −1 1 − 15

=

− 10 2 = − 15 3

y=

-1 -1 1 4 1 −1 -1 1 1 − 15

=

6 2 =− − 15 5

z=

-1 4 −1 4 1 1 -1 -1 1 - 15

=

− 19 19 = − 15 15

Septiembre 2004. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 3 puntos (2 punto) Discutir según los valores del parámetro real λ es sistema λx + 3y + z = λ   x + λy + λz = 1  x + y− z =1  b. (1 punto) Resolver el sistema anterior en el caso λ = 2. Solución. a. λ 3 1  λ 3 1 λ     A = 1 λ λ  ; A′ =  1 λ λ 1  A ⊂ A ′ ⇒ rg A ≤ rg A ′ ≤ n = 3  1 1 − 1  1 1 −1 1      Si el determinante de la matriz de coeficientes(A) fuese distinto de cero, el rango de A seria 3 y coincidiría con el rango de la ampliada que como máximo puede ser 3 debido a sus dimensiones(3×4), que además coincide con el número de incógnitas por lo que el sistema sería compatible determinado(solución única). Teniendo en cuenta esto, el sistema se discute a partir de los valores del parámetro que anulan el determinante de A. λ 3 1 λ=2 A = 1 λ λ = −2λ2 + 2λ + 4 = −2 λ2 + λ + 2 = −2(λ − 2)(λ + 1) = 0 ;  λ = −1 1 1 −1

a.

(

)

Discusión: -

-

Si λ ≠ −1, 2. En estos caso el determinante de A es distinto de cero, y por lo antes argumentado, el sistema es compatible determinado, pudiendo en cada caso resolverse por el método de Cramer.  − x + 3 y + z = −1  Si λ = −1.  x − y − z = 1  x + y− z =1   −1 3 1    −1 3 A =  1 − 1 − 1 A = 0 = −2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 −1  1 1 − 1    − 1 3 1 − 1   −1 3 ′ A =  1 − 1 − 1 1  A ⊂ A ′ ⇒ rg A ′ ≤ 2 De los menores orlados a , el 1 −1  1 1 −1 1    único que queda por estudiar es:

61

−1 3 −1 1 −1 1 = 0 1 1 1 que por ser también nulo, indica que el rango de la ampliada es dos y por tanto los rangos de las dos matrices son iguales, pero no coincidentes con el número de incógnitas del sistema por lo que este es compatible indeterminado, con dos ecuaciones linealmente independientes, como indica su rango, y tres incógnitas. rg A = rg A’ = 2 < n = 3 2 3 1  2 x + 3 y + z = 2   2 3  - Si λ = 2.  x + 2 y + 2z = 1 A =  1 2 2  A = 0 = 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 1 2  1 1 − 1  x + y− z =1     2 3 1 2   2 3 ′ A =  1 2 2 1  A ⊂ A ′ ⇒ rg A ′ ≤ 2 De los menores orlados a , el único 1 2  1 1 −1 1    que queda por estudiar es: 2 3 2 1 2 1 =0 1 1 1 que por ser también nulo, indica que el rango de la ampliada es dos y por tanto los rangos de las dos matrices son iguales, pero no coincidentes con el número de incógnitas del sistema por lo que este es compatible indeterminado, con dos ecuaciones linealmente independientes, como indica su rango, y tres incógnitas. rg A = rg A’ = 2 < n = 3 b. Para λ = 2, el sistema está formado por dos ecuaciones linealmente independientes. Para obtener el sistema equivalente, las ecuaciones elegidas deben ser las que contengan a los términos del menor de 2 3 orden 2 que da rango al sistema, . 1 2

2 x + 3 y + z = 2   x + 2 y + 2z = 1 Para resolver el sistema, se toma la z como constante y se convierte en parámetro. z=λ 2 x + 3 y = 2 − λ   x + 2 y = 1 − 2λ resolviendo por Cramer 2−λ 3 2 2−λ 1 − 2λ 2 1 1 − 2λ x= = 1 + 4λ 1= = −3λ 2 3 2 3 1 2 1 2  x = 1 + 4λ  Solución:  y = −3λ ∀ λ ∈ R  z=λ 

62

Junio 2004. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos Dado el sistema

(1 − a )x − 2 y + 4z = 0   x − (1 + a )y + z = 0  − x + ay − z = 0  a) ( 1’5 puntos ) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a. b) ( 1’5 puntos ) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. Solución. a. Sistema homogéneo, se caracteriza por que la matriz de coeficientes( A ) y la ampliada( A’ ) son iguales( se diferencian en una columna de ceros ), y por tanto el rg A = rg A’, lo cual implica que el sistema siempre es compatible, existiendo dos posibilidades: A ≠ 0 . Sistema compatible determinado. Solución trivial(x = y = z = 0) A = 0 . Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Los tipos de soluciones del sistema, teniendo en cuenta lo anterior, se discuten para los valores del parámetro que anulan el determinante de A. 1− a −2 4 1 − 1 − a 1 = −a − 3 = 0 : a = −3 −1 a −1 Discusión. i. Sí a ≠ −3. A ≠ 0 . rg A = rg A’ = n = 3. Sistema compatible determinado. Solución trivial -

ii.

4 x − 2 y + 4 z = 0  Sí a = 3.  x + 2 y + z = 0 A = 0 . rg A < 3. Se busca un menor de orden 2 distinto de  − x − 3y − z = 0  1 2 = −1 ≠ 0 . rg A = rg A’ = 2 < n =3. Sistema compatible −1 − 3 indeterminado, con un grado de indeterminación. Teniendo en cuenta el menor de orden 2  x + 2y + z = 0 . que da rango al sistema, el sistema equivalente será: S’:  − x − 3 y − z = 0

cero, por ejemplo,

 x + 2y + z = 0 x + 2 y + z = 0 S’:  , equivalente a S’’:  . Sistema compatible indeterminado, con − x − 3 y − z = 0  x + 3y + z = 0 un grado de indeterminación, para resolverlo se debe tomar una variable como parámetro(z = λ), y despejarla como término independiente.  x + 2 y = −λ   x + 3 y = −λ El sistema resultante se resuelve por cualquier método.  x = −λ  Solución :  y = 0 ∀ λ ∈ R  z=λ  b.

63

Junio 2004. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2 puntos  x + 2y = 1 a) (1 punto) Dado el sistema  , escribir una tercera ecuación de la forma ax + by = c 3x − y = 2 (distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible. 2 x + 2 y − z = 1 b) (1 punto) Dado el sistema  , escribir una tercera ecuación de la forma  x + y + 2z = 1 αx + βy + γz = 1 (distintas de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado. Solución. a. El sistema es compatible determinado ya que el rg A = rg A´ = n = 2. 1 2  1 2 1  : A' =   : A ⊂ A ' ⇒ rg A ≤ rg A' ≤ n = 2 A =   3 − 1 3 −1 2 1 2 = −7 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A' = n 3 −1 Para que el sistema siga siendo compatible determinado, la nueva ecuación no debe modificar el rango de la matriz de coeficientes ni el de la ampliada. Cualquier combinación lineal de las dos ecuaciones que forman el sistema puede valer.  x + 2y = 1 1 2  1 2 1      x + 2y = 1    →3x − y = 2 : rg 3 − 1 = rg 3 − 1 2  = n = 2  E 3 = E1 + E 2 3 x − y = 2  4 1   4 1 3 4 x + y = 3     

b.

El sistema es compatible indeterminado ya que el rg A = rg A´ = 2 < n = 3

 2 2 − 1  2 2 − 1 1  : A' =   : A ⊂ A ' ⇒ rgA ≤ rgA' ≤ 2 ≠ n = 3 A =  1 1 2   1 1 2 1 2 −1 = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 = rg A' < n = 3. Sistema compatible indeterminado. 1 2 Para que el sistema siga siendo compatible indeterminado, la nueva ecuación no debe modificar el rango de la matriz de coeficientes ni el de la ampliada. En este caso no vale cualquier combinación lineal de las dos ecuaciones, solo las que den una ecuación cuyo término independiente sea 1.  2x + 2 y − z = 1  2 2 −1  2 2 − 1 1     2 x + 2 y − z = 1      → x + y + 2z = 1 rg  1 1 2  = rg  1 1 2 1 = 2 < n = 3  E = 2 E − E 3 1 2  x + y + 2z = 1  3 3 − 4  3 3 − 4 1 3x + 3y − 4z = 1     

Modelo 2004. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos. Discutir según los valores del parámetro λ, y resolver en los casos en que sea posible el sistema 6x + 4 y + 2λz = 2   λx + y − z = 2  5x + 3y + 3z = 2λ  Solución. Sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas definido por las matrices.  6 4 2λ   6 4 2λ 2      A =  λ 1 − 1 A* =  λ 1 − 1 2  5 3 3   5 3 3 2λ     

64

Un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas es compatible determinado (solución única), si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, por lo tanto se discute el sistema para los valores del parámetro λ que anulan dicho determinante.

6 4 2λ A = λ 1 − 1 = 18 − 20 + 6λ2 − (10λ + 12λ − 18) 5 3 3

(

A = 6λ2 − 22λ + 16 = 2 3λ2 − 11λ + 8

)

Descomponiendo por Ruffini:

A = 2 ⋅ (3λ − 8) ⋅ (λ − 1) Igualando a cero:

3λ − 8 = 0; λ = 8 3 2·(3λ − 8)( · λ − 1) = 0 :   λ − 1 = 0; λ = 1 Discusión:

Si λ ≠ 1, 8 , el A ≠ 0 y por tanto el sistema es compatible determinando. La solución se 3 obtiene mediante el método de Cramer. I.

x=

Ax A

=

2 4 2λ 2 1 −1 2λ 3 3 2(3λ − 8)( · λ − 1)

x = −2

II.

y=

λ2 − λ + 3 (3λ − 8) ⋅ (λ − 1)

Ay A y=

=

6 2 2λ λ 2 −1 5 λ 3

z=

2(3λ − 8)( · λ − 1)

λ3 − 10λ + 3 (3λ − 8) ⋅ (λ − 1)

z=−

Az A

=

6 4 2 λ 1 2 5 3 λ 2(3λ − 8)( · λ − 1)

2λ2 − 9λ + 11 (3λ − 8) ⋅ (λ − 1)

6x + 4 y + 2z = 2  3x + 2 y + z = 1  SIMPLIFICA NDO  Si λ = 1  x + y − z = 2      → x + y − z = 2  5x + 3y + 3z = 2 5x + 3y + 3z = 2   3 2 1    3 2 A =  1 1 − 1; A = 0; = 1 ≠ 0 ⇒ rgA = 2 1 1 5 3 3   

3 2 1 1   3 2 A ' =  1 1 − 1 2  orlando el menor aparecen dos menores de orden tres, uno de ellos es el 1 1 5 3 3 2   determinante de la matriz de coeficiente (A), que es cero para λ = 1 , el otro es: 3 2 1 1 1 2 = 6 + 20 + 3 − (5 + 4 + 18) = 29 − 27 = 2 ≠ 0 5 3 2 rg A’ =3 ≠ rg A = 2 ⇒ Sistema incompatible

65

III.

16  6x + 4 y + 3 z = 2  9x + 6y + 8z = 3 8  8  Si λ = x + y − z = 2 :   8x + 3y - 3z = 6 3  3 15x + 9 y + 9z = 16  5x + 3y + 3z = 16   3

9 6 8    A =  8 3 − 3 15 9 9   

A = 0;

9 6 8 3

= 27 − 48 = −21 ≠ 0 ; rgA = 2

9 6 8 3   A ' =  8 3 − 3 6  Operando de igual forma que en el apartado II. 15 9 9 16    9 6 8 3

9

6

3

≠0→ 8

3

6 = −201 ⇒ rg A’ = 3 ≠ rg A = 2

15 9 16

Sistema incompatible.

Modelo 2004. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 3 puntos. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:  x + 3y − az = 4   x + ay + z = 2 x + 4 y − 5z = 6  Se pide: a) (2 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) (1 punto) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. Solución.

a.

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas definido por las matrices:

1 3 − a    A = 1 a 1  1 4 − 5   

1 3 − a 4    A = 1 a 1 2  1 4 − 5 6    *

Por tener igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el determinante de la matriz de coeficiente es distinto de cero el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan este determinante.

1 3 −a A =1 a

(

1 = −5a + 3 − 4a − − a 2 + 4 − 15

)

1 4 −5

a = 2 A = a 2 − 9a + 14 = 0 :  a = 7 Discusión: I. Si a ≠ 2, 7 ⇒ |A| = 0. Sistema compatible determinado. La solución se puede obtener por el método de Cramer.

 x + 3y - 2z = 4  II. Si a = 2  x + 2y + 2 = 2  x + 4 y − 5z = 6 

66

1 3 − 2    A = 1 2 1  1 4 5   

1 3 1 2

= −1 ≠ 0 rg A = 2

1 3 − 2 4    1 3 A = 1 2 1 2  Tomando como menor de orden 2 distinto de cero el menor el único menor 1 2 1 4 − 5 6    1 3 4 orlado que queda por estudiar es: 1 2 2 = 12 + 6 + 16 − (8 + 18 + 8) = 34 − 34 = 0 1 4 6 *

rg A = rg A * = 2 < n = 3 Sistema compatible indeterminado

x + 3y − 7 z = 4  III. a = 7 :  x + 7 y + z = 2  x + 4 y − 5z = 6  1 3 − 7    A = 1 7 1  1 4 − 5    Rango de A:

1 3 1 7

1 3 − 7 4    A = 1 7 1 2  1 4 − 5 6    *

= 7 − 3 = 4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2

Rango de A*, tomando como menor de orden dos

1 3 1 7

, el único menor orlado que queda por estudiar es

1 3 4 1 7 2 = 42 + 6 + 16 − (28 + 8 + 18) = 64 − 54 = 10 ≠ 0 1 4 6 rg A * = 3 ≠ rg A Sistema incompatible

b.

x + 3y + 2z = 4  Para a = 2:  x − 2 y + z = 2  x + 4 y − 5z = 6 

Sistema de rango 2 y por tanto tiene solo dos ecuaciones linealmente independientes, estas se encuentran en el menor de orden dos que define el rango del sistema.

x + 3y − 2z = 4 S' :   x + 2y + z = 2 Considerando Z como constante y transformándola en un parámetro (z = λ )

 x + 3 y = 4 + 2λ   x + 2y = 2 − λ

67

x=

y=

 x = −2 − 7 λ  olución:  y = 2 + 3λ z = λ 

4 + 2λ 2-λ

3 2

1 3 1 2 1 4 + 2λ 1 2−λ 1 3 1 2

=

=

8 + 4λ − (6 − 3λ ) = −2 − 7λ −1

2 − λ − (4 + 2λ ) = 2 + 3λ −1

∀λ ∈ ℜ

Septiembre 2003. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos Se considera el sistema de ecuaciones:

3x + 4 y + 3z = 9  mx + 2 y + z = 5  x + y + z = 2  Se pide: a. (1’5 puntos) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única. b. (1’5 puntos) Resolverlo para m = 1. Solución. a. Según Cramer si en un sistema con igual numero de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes(A) es distinto de cero, el sistema es compatible determinado y la solución por tanto es única. 3 4 3

A = m 2 1 = 6 + 4 + 3m − (6 + 3 + 4m ) = 1 − m = 0 ⇒ m = 1 1 1 1 Sí m ≠ 1, el determinante de A es distinto de cero y la solución del sistema es única, pudiéndose calcular mediante el método de Cramer.

3x + 4 y + 3z = 9  3 4 3 3 4 3 9      b. Sí m = 1:  x + 2 y + z = 5 definido por : A =  1 2 1  , A' =  1 2 1 5  1 1 1 1 1 1 2  x+y+z = 2      1 2 Rango de A: = −1 ≠ 0 . rg A = 2. La matriz A no puede tener rango 3 ya que para m = 1 su 1 1 determinante es nulo. Rango de A’. Partiendo del menor

1 2

distinto de cero, se estudian sus menores orlados. Uno 1 1 de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que es nulo para m = 1, y el otro es: 3 4 9

1 2 5 =0 1 1 2 al no haber menores de orden 3 distintos de cero en la matriz ampliada y existiendo un menor de orden 2 no nulo, el rg A’ = 2. rg A = rg A’ = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado con dos ecuaciones linealmente independientes.

68

Para resolver el sistema se seleccionan las ecuaciones linealmente independientes, y estas son las que contienen a los términos del menor de orden 2 que define el rango del sistema(2ª y 3ª ecuación). x + 2 y + z = 5 S' :   x+ y+z = 2 El sistema admite varias formas de resolución, la más simple es tomar una de las variables como parámetro(z = λ) y resolver mediante el método de Cramer x + 2 y = 5 − λ :   x + y = 2−λ 5−λ 2 1 5−λ

x=

2−λ 1 1 2

=

1+ λ = −1 − λ −1

y ==

1 2−λ

1 1

1 2

=

−3 =3 −1

1 1

Solución: (−1, − λ, 3, λ ) ∀ λ ∈ ℜ

Junio 2003. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos Se considera el sistema de ecuaciones:

(m + 2)x + (m − 1)y − z = 3  mx − y + z = 2   x + my − z = 1  Se pide: a) (1 punto) Resolver para m = 1. b) (2 puntos) discutirlo para los distintos valores de m. Solución. Lo practico es iniciar la solución por el apartado b

b. Se pide estudiar un sistema de 3 ecuaciones y tres incógnitas con un parámetro. Según el teorema de Rouché, un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas es compatible determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Teniendo en cuenta lo anterior, la discusión del sistema se hace a partir de los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. El sistema se define mediante dos matrices A(matriz de coeficientes y A’(matriz ampliada).  m + 2 m − 1 − 1  m + 2 m −1 −1 3     A= m −1 1 A' =  m −1 1 2  A ⊂ A' ⇒ rg A ≤ rg A' ≤ n = 3  1  1 m − 1 m − 1 1    m + 2 m −1 −1 m=0  det A = m −1 1 = −m 2 − m = −m ⋅ (m + 1) = 0 :  m + 1 = 0 : m = −1 1 m −1

Discusión. i.

Si m ≠ −1, 0 ⇒ |A| ≠ 0 y por tanto rg A = rg A’ = n = 3. Sistema compatible determinado.  x − 2y − z = 3  1 − 2 − 1  1 − 2 −1 3      ii. Si m = −1: − x − y + z = 2 A =  − 1 − 1 1  A' =  − 1 − 1 1 2   1 − 1 − 1  1 −1 −1 1   x − y−z =1      1 −2 Rango de A: = −3 ≠ 0 . rg A = 2 −1 −1

1

−2 3

Rango de A’: − 1 − 1 2 = 1 ≠ 0 . rg A’ = 3

1

−1 1 rg A ≠ rg A’ Sistema incompatible

69

 2 − 1 − 1 2 x − y − z = 3    iii. Si m = 0:  − y + z = 2 A =  0 −1 1   1 0 − 1  x −z =1    2 −1 Rango de A: = −2 ≠ 0 . rg A = 2 0 −1

 2 −1 −1 3   A' =  0 − 1 1 2   1 0 −1 1  

2 −1 3 Rango de A’: 0 − 1 2 = −1 ≠ 0 . rg A’ = 3

1

0

1 rg A ≠ rg A’ Sistema incompatible

 3x − z = 3  m = 1: x − y + z = 2 x + y − z =1 

a.

A = −12 − 1 = −2 sistema compatible determinado. La solución se

obtiene por el método de Cramer 3 0 −1

x=

Ax A

=

2 −1

1

1 −1

1

-2

=

-3 -2

y=

Ay A

=

3 3 −1

3

1 2

1 −1 2

1

1 1 −1 -2

=

-2 -2

z=

Az A

=

1

0 1 -2

3 1

=

-3 -2

3 3 S =  , 1,  2 2 

Modelo 2003. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2 puntos. Para cada valor del parámetro real k, se considera el sistema lineal de ecuaciones:

 x−y=3   2 x − 3y = 2k 3x − 5y = k 2  Se pide: a) (1 punto) Discutir el sistema según los valores de k. b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos en que sea compatible.

Septiembre 2002. Ejercicio 3A. Puntuación máxima: 3 puntos. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real λ: x + y`+λz = λ2   y−z = λ  x + λy + z = λ  a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro λ. b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos que sea posible. c) (0,5 puntos) En el caso λ = 2, indicar la posición relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el sistema. Solución: a. Al sistema lo definen las matrices de coeficientes A y ampliada A’  1 1 λ λ2  1 1 λ      A =  0 1 − 1 A' =  0 1 − 1 λ    1 λ 1  1 λ 1 λ      y los rangos de estas matrices clasifican al sistema en función del tipo de solución. A ⊂ A’ ⇒ rg A ≤ rg A’ ≤ n = 3

70

Si el determinante de la matriz de coeficientes fuese distinto de cero, el rg A es 3 y coincidiría con el de la matriz ampliada y el número de ecuaciones, por lo que el sistema sería compatible determinado, y la solución se podría calcular por el método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior, el estudio del sistema se inicia expresando el determinarte de A en función del parámetro λ, para de está forma poder calcular los valores del parámetro que anulan el determinante e iniciar la discusión. 1 1 λ

det A = A = 0 1 − 1 = 0 1 λ

1

lo cual indica que el para cualquier valor de λ el determinante es nulo, por lo que el rango de A será menor que tres. Teniendo en cuenta que en la matriz A existe un menor de orden dos que no depende de λ y es distinto de cero 1 1 =1≠ 0 0 1 el rg A = 2, por lo que el sistema no podrá ser compatible determinado. Dado que el rango de A no deja discutir el sistema, habrá que buscar la discusión en el rango de la ampliada. 1 1 rg A’; partiendo del menor = 1 ≠ 0 se buscan sus menores orlados: 0 1

1 1

λ

0 1 −1 = 0 1 λ

1

2

1 1 λ 0 1 1 λ

 2m = 0 : m = 0 λ = 2m − 2m 2 = 2m·(1 − m) = 0 ⇒  1 − m = 0 : m = 1 λ

Discusión i. ii.

iii.

Sí m ≠ 0, 1. rg A’ = 3 > rg A = 2. Sistema incompatible 1 1 0 0 x + y`= 0 1 1 0       Si m = 0:  y − z = 0 : rg A' = rg  0 1 − 1 0  = rg  0 1 − 1 = 2 = rg A < n = 3 1 0 1 0 1 0 1  x + z = 0      Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. El sistema equivalente S’ se obtiene a partir del menor de orden dos que define el rango del sistema, al estar formado por coeficientes de la los primera ecuaciones se puede asegurar que estas son linealmente independientes. x + y = 0 S' :  y − z = 0

 x + y`+ z = 1  Si m = 1:  y − z = 1 . Por criterios de equivalencia entre sistemas, se puede eliminar la 3ª x + y + z = 1  ecuación por ser igual a la 1ª obteniendo el sistema: x + y + z = 1 S' :   y−z =1 en este sistema, el rg A = rg A’ = 2 < n =3, por que se define como sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación.

b. El sistema solo tiene solución para λ = 0 y para λ = 1. La solución en cada caso se obtiene a partir del sistema equivalente correspondiente.

71

x + y = 0 Sí m = 0: S' :  Tomando y como constante y despejando y − z = 0 x = − y   z=y transformando y en un parámetro ( y = µ) se obtiene la solución  x = −µ  Solución :  y = µ ∀µ∈ℜ  z=µ  x + y + z = 1 Si m = 1: S' :  Tomando z como constante y despejando  y−z =1 x + y = 1 − z   y = 1+ z sustituyendo y en la 1ª ecuación  x = −2z  y = 1 − z transformando y en un parámetro ( z = µ) se obtiene la solución  x = −2µ  Solución :  y = 1 − µ ∀ µ ∈ ℜ  z=µ 

 x + y`+2z = 4  c. Para λ = 2:  y − z = 2 rg A = 2 ≠ rg A’ = 3. Sistema incompatible. Para este tipo de sistema x + 2 y + z = 2  existen dos interpretaciones geométricas, o dos planos paralelos y uno que los corta ó tres planos no paralelos que se cortan dos a dos formando un prisma triangular de aristas paralelas. Respectivamente:

Dos paralelos y uno que los corta

Prisma triangular de aristas paralelas

Se diferencia por que en el primero de ellos deberían existir dos ecuaciones proporcionales excepto en los términos independientes. Como esto no ocurre entre los planos del sistema, los planos del sistema forman un prisma triangular de aristas paralelas.

Junio 2002. Ejercicio 3B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: x − y = 2  ax + y + 2z = 0 x − y + az = 1  Se pide: a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para a = -1. c) (1 punto) Resolver el sistema para a = 2. Solución. a. Al sistema lo definen las matrices:

72

 1 −1 0  1 −1 0 a      A = a 1 2 y A' =  a 1 2 0   1 −1 a   1 −1 a 1      siendo A ⊂ A' ⇒ rg A ≤ rg A’ ≤ n 3 A ≡ Matriz de coeficientes: A’ ≡ Matriz ampliada; n ≡ nº de incógnitas Si un sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas S n×n , como en este caso, y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema se define como compatible determinado, tiene solución única y está se puede calcular por el método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior, se calcula el determinante de A en función del parámetro”a”, y se estudian los valores de este que lo anulan. 1 −1 0 1 0 0 a +1 2 det A = A = a 1 2 = {C 2 = C 2 + C1 } = a a + 1 2 = 1·(−1)1+1 · = a·(a + 1) 0 a 1 −1 a 1 0 a

a=0 a 1 0 : a = −1 + = 

[A] = 0 ⇒ a·(a + 1) = 0 : 

Discusión: i. Si a ≠ 0, −1 ⇒ det A ≠ 0 y por tanto: rg A = 3 = rg A’ = n. Sistema compatible determinado S.C.D. x−y=2  ii. Si a = 0:  y + 2z = 0 Sistema incompatible (no tiene solución) ya que presenta dos  x − y =1  x − y = 2 ecuaciones incongruentes  . También se puede estudiar por rangos. x − y =1 Rango de A:

1 −1 0 1 −1 = 1 ≠ 0 ; 0 1 2 = 0 ⇒ rg A = 2. 0 1 1 −1 0

Rango de A’: a partir del menor

1 −1 = 1 ≠ 0 , se estudian sus menores orlados 0 1

1 −1 0 1 −1 2 0 1 2 = 0 y 0 1 0 = −1 ≠ 0 ⇒ rg A’ = 3. 1 −1 0 1 −1 1 rg A ≠ rg A’ ⇒ Sistema incompatible

iii.

 x−y=2  1 −1 0   1 − 1 0 − 1      Si a = −1: − x + y + 2z = 0 definido por A =  − 1 1 2  y A ' =  − 1 1 2 0   1 − 1 − 1  1 −1 −1 1   x − y−z =1      −1 1 0 −1 0 rg A: = −2 ≠ 0 ; − 1 1 2 = 0 ⇒ rg A = 2. 1 2 1 −1 −1

−1 1 0 −1 0 2 −1 0 rg A’: = −2 ≠ 0 , sus menores orlados son: − 1 1 2 = 0 y 1 2 0 = 0 1 2 1 −1 −1 −1 −1 1 por lo tanto rg A’ = 2 rg A = rg A’ = 2 < n = 3. Grado de indeterminación = nº de incógnitas − rango del sistema

73

Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación.

 x−y=2 Sistema equivalente: S' :  − x + y + z = 0 b. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, para resolverlo hay que transformar una de las variables en parámetro, y resolverlo en función de este. Transformando la y en λ y ordenando:  x = 2+λ  − x + 2z = −2λ

x = 2 + λ  resolviendo por sustitución::  y = λ  z =1 

1 −1 0  x−y=2  a = 2 2x + y + 2z = 0 2 1 2 = 6 ≠ 0 . Sistema compatible determinado. Se resuelve por  x − y + 2z = 1 1 − 1 2 

c. Cramer.

x=

Ax A

=

2 −1 0 0 1 2 1 −1 2 6

=

Ay 6 =1: y = = 6 A

1 2 0 2 0 2 1 1 2 6

=

Az −6 = −1 : z = = 6 A

1 −1 2 2 1 0 1 −1 1 6

=

−3 1 =− 6 2

Septiembre 2001. Ejercicio 4A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ax + y + 4z = 1   − x + ay − 2z = 1  y+z = a 

a. b. c.

(1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro a (1 punto) Resolver el sistema para a = 2. (1 punto) Resolver el sistema para a = 1.

Solución: a. Para discutir un sistema hay que estudiar los rango de las matrices que lo definen, ya que según el teorema de Rouché-Frobenius, los sistemas se clasifican en:   Determinados (rg A = rg A' = n). S.C.D.  Compatibles (rg A = rg A' ) :  Sistemas :  Indeterminados (rg A = rg A' < n). S.C.I. Incompatibles (rg A ≠ rg A' ). S.I.  Al sistema propuesto lo definen su matriz de coeficientes (A), y su matriz ampliada (A’). a 1 4   a 1 4 1     A =  −1 a − 2 A' =  − 1 a − 2 1  0 1 1   0 1 1 a     dadas las dimensiones de ambas matrices rg A ≤ rg A’ ≤ 3 = n siendo n el número de incógnitas. Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rengo de la matriz A será 3, y teniendo en cuenta la desigualdad anterior, el rango de A’ también será 3. Basándose en esto, el criterio de discusión se obtiene de los valores del parámetro que anulan el determinante de A

74

a 1 4 a − 1 = 0 : a = 1 A = − 1 a − 2 = a 2 + 2a − 3 = (a − 1)( · a + 3) = 0 :  a + 3 = 0 : a = −3 0 1 1 Discusión a. Si a ≠ 1, −3 ⇒ |A| ≠ 0 y por tanto: rg A = rg A’ = n = 3. Sistema compatible determinado.

1 1 4    b. Sí a = 1 A =  − 1 1 − 2  0 1 1    Rango de A:

 1 1 4 1   A ' =  − 1 1 − 2 1  0 1 1 1  

1 1 = 2 ≠ 0 ⇒ rg A ≥ 2 −1 1 teniendo en cuenta que para a = 1 el |A| = 0, el rg A = 2 Rango de A’ (rg A’ ≥ rg A = 2): 1 1 ≠ 0 , se estudia sus menores orlados, el formado por las tres primeras Partiendo del menor −1 1 columna, que no hay que estudiarlo ya que es el determinante de A y este es nulo para a = 1, y el formado por la 1ª, 2ª y cuarta columna 1 1 1

− 1 1 1 = 0 ⇒ rgA' < 3 0 1 1 por lo tanto rg A’ = 2 rg A = rg A’ = 2 < n = 3 Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación ó libertad grado de indeterminación = n − rg A = 1

c.

4  − 3 1   Sí a = −3 A =  − 1 − 3 − 2   0 1 1   Rango de A:

4 1  − 3 1   A' =  − 1 − 3 − 2 1   0 1 1 − 3   −3 1 = 10 ≠ 0 ⇒ rg A ≥ 2 −1 − 3

teniendo en cuenta que para a = −3 el |A| = 0, el rg A = 2 Rango de A’ (rg A’ ≥ rg A = 2): −3 1 Partiendo del menor ≠ 0 , se estudia sus menores orlados, el formado por las tres −1 − 3 primeras columna, que no hay que estudiarlo ya que es el determinante de A y este es nulo para a = −3, y el formado por la 1ª, 2ª y cuarta columna −3 1 1

− 1 − 3 1 = −28 ≠ 0 ⇒ rgA ' = 3 0 1 −3 por lo tanto rg A’ = 3 rg A ≠ rg A’ ⇒ Sistema incompatible

b.

2 x + y + 4z = 1   Sí a = 2: − x + 2 y − 2z = 1 A = a 2 + 2a − 3 = 2 2 + 2·2 − 3 = 5 ≠ 0  y+z = 2 

75

Sistema compatible determinado. Método de Cramer  1 1 4  1 2 −2   Ax 2 1 1 − 13  = = 5 5  A  2 1 4  −1 1 − 2   A 0 2 1 3  y = =  5 5  A  2 1 1  −1 2 1   Ay 0 1 2 7  = = 5 5  A    

 x + y + 4z = 1 Si a = 1 Sistema equivalente:  . Para resolver el sistema es necesario tomar una − x + y − 2 z = 1 variable como parámetro y expresar las otras en función de está. Considerando la z como parámetro (z = λ)  x + y = 1 − 4λ   − x + y = 1 + 2λ El sistema resultante se resuelve muy fácilmente, basta para ello con sumar o restar las ecuaciones. Sumándolas, se despeja y, restándolas, se despeja x E1 + E 2 : 2 y = 2 − 2λ : y = 1 − λ   E1 − E 2 : 2x = −6λ : x = −3λ

c.

por lo tanto el conjunto solución es: (−3λ, 1 − λ, λ) ∀ λ ∈ R

Junio 2001. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 2 puntos) x + y + 2z = 2   Dado el sistema de ecuaciones 2 x − y + 3z = 2 se pide: 5x − y + az = 6  a) (1 punto) Discutirlo según los valores del parámetro a. b) (1 punto) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Solución El sistema propuesto es de dimensiones 3×3, y está definido por las matrices: 1 1 2  1 1 2 2     A =  2 − 1 3  A ' =  2 − 1 3 2  siendo A una submatriz de A’ y por tanto rg A ≤ rg A’ ≤ n = 3.  5 −1 a   5 −1 a 6     Sí en un sistema cuadrado(nº de ecuaciones = nº de incógnitas), el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinado, y la solución se puede calcular por el método de Cramer. 1 1 2

a)

A = 2 − 1 3 = −a + 15 − 4 − (−10 + 2a − 3) = 24 − 3a 5 −1 a Igualando a cero el determinante, se encuentran las distintas posibilidades del sistema. 24 −3a = 0; a = 8 i) Sí a ≠ 8 ⇒ A ≠ 0 y por tanto rg A = 3 = rg A’ = n. S.C.D. Solución única.

76

ii)

1 1 2  1 1 2 2     Si a = 8, A =  2 − 1 3  y A ' =  2 − 1 3 2  , rg A =2 ya que el único menor de  5 −1 8   5 −1 8 6     orden tres es cero y existen menores de orden 2 distintos de cero como por ejemplo 1 1 = −3 . El rg A’ ≥ 2 ya que A’ no puede tener menor rango que A, por lo que 2 −1 queda comprobar si es tres. Orlando el menor de orden dos distinto de cero de la matriz A, aparecen dos menores de orden tres, el formado por las tres primeras columnas, que 1 1 2 es nulo, y el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna que también es nulo 2 − 1 2 = 0 , por 5 −1 6 lo tanto rg A = rg A’ = 2 ≠ n. S.C.I. Infinitas soluciones.

 x + y + 2z = 2  b) a = 8. S : 2x − y + 3z = 2 , el rango del sistema es dos, por lo que solamente hay dos ecuaciones  5 x − y + 8z = 6  linealmente independientes. Tomando como referencia el menor de orden dos distinto de cero, un sistema  x + y + 2z = 2 equivalente al S será el S’:  . Dado que el número de incógnita es tres y el de ecuaciones 2x − y + 3z = 2 linealmente independientes es dos, el sistema tiene un grado de libertad o indeterminación, por lo que para resolverlo será necesario un parámetro. Tomando y como parámetro, y = λ  2−λ 2  x = 2 + λ 3 = −2 + 5λ  1 2  x = −2 + 5λ  x + 2z = 2 − λ 2 3   ⇒ Solución :   y = λ − λ 1 2 2 x + 3 z = 2 + λ    z = 2 − 3λ   2 2+λ = 2 − 3λ  z= 1 2   2 3 

Junio 2001. Ejercicio 3B. (Puntuaci6n máxima: 3 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones

1  1 1  λ 

1 1 λ 1

1 λ  x   λ   1 ⋅ y = 1   1  z   1 1   

(a) (1 punto) Discutirlo según los valores del parámetro real λ. (b) (1 punto) Resolverlo para λ = −3. (c) (1 punto) Resolverlo para λ = 1. Solución. a. El sistema viene definido por las matrices de coeficientes (A) y por la ampliada (A’). 1 1 1 1 1 1 λ     1 1 λ 1 1 λ 1 A= : A' =  1 λ 1 1 λ 1 1     λ 1 1 λ 1 1 1     ≤ rgA 3  A ⊂ A ' ⇒ rgA ≤ rgA' :  rgA' ≤ 4 n (nº de incógnitas) = 3

77

Para que un sistema sea compatible, el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la ampliada. En este caso, el máximo rango que pude llegar a tener la matriz de coeficientes es tres, y la ampliada es cuatro, por lo tanto, la discusión se realiza a partir de los valores del parámetro que anulen el determinante de la matriz ampliada, ya que para todos aquellos valores de λ que no anulen el determinante de la ampliada el sistema será incompatible. Calculo del determinante en función de λ 1 1 1 λ

λ+3 λ +3 λ +3 λ +3 1 1 λ 1 1 1 λ 1 det A ' = = {F1 = F1 + F2 + F3 + F4 } = = 1 λ 1 1 1 λ 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 1  C1 = C 1 − C 4  1 1 λ 1  0 0 λ −1 1  = (λ + 3) = C 2 = C 2 − C 4  = (λ + 3) = (λ + 3)( · λ − 1)3 1 λ 1 1  0 λ − 1 0 1 C 3 = C 3 − C 4  λ 1 1 1  λ −1 0 0 1 igualando a cero la expresión se encuentran los valores del parámetro que anulan el determinante. λ + 3 = 0 : λ = −3 (λ + 3)⋅ (λ − 1)3 = 0 ⇔  3  (λ − 1) = 0 : λ − 1 = 0 : λ = 1 Discusión i. Sí λ ≠ −3, 1. A ' ≠ 0 ⇒ rg A’ = 4 ≠ rg A. Sistema incompatible.

ii.

iii.

b.

x + y + z = 1 x + y + z = 1  Sí λ = 1.  , equivalente a {x + y + z = 1 . rg A = rg A’ = 1 < n. Sistema x + y + z = 1 x + y + z = 1 compatible indeterminado. 1 1   x + y + z = −3  1   1 1 1  x + y − 3z = 1 1 1 − 3   Sí λ = −3  rg =3 por: 1 1 − 3 = −16 ≠ 0 . 1 −3 1   x − 3y + z = 1   1 −3 1 − 3x + y + z = 1  − 3 1 1  rg A = rg A’ = n =3. Sistema compatible determinado.  x + y + z = −3  x + y + z = −3  x + y − 3z = 1   : equivalente a   x + y − 3z = 1 x − 3 y + z = 1   x − 3y + z = 1  − 3x + y + z = 1 −3 1 1 1 1 −3 Ax 1 −3 1 16 x= = = = −1 y = − 16 − 16 A

z=

Az A

=

1 1 1 1 1 − 3 = −16 1 −3 1

Ay A

1 1 −3 1 1 1 1 −3 1 − 16

=

=

1 −3 1 1 1 −3 1 1 1 − 16

=

16 = −1 − 16

16 = −1 − 16

c. {x + y + z = 1 Sistema compatible indeterminado con dos grados de indeterminación. Grado de indeterminación = n − rg A = 3 − 1

78

y=λ z =µ

x = 1 − λ − µ {x + y + z = 1 →y = λ : ∀ λ, µ ∈ ℜ z = µ 

Septiembre 2000. Ejercicio 3A. Calificación máxima: 3 puntos. y+z =1   Considerar el sistema de ecuaciones (λ − 1) x + y + z = λ donde λ es un número real.  x + (λ − 1) y − z = 0  a) (1 punto) Discutirlo según los valores del parámetro λ b) (1 punto) Resolverlo para λ = 0 c) (1 punto) Resolverlo para λ = 3 Solución a. Los sistemas se clasifican según los rangos de la matriz de coeficientes(A) y el de la ampliada(A′). 1 1 1 1 1  0  0     A =  λ −1 1 1 A' =  λ − 1 1 1 λ  A ⊂ A′ ⇒ rg A ≤ rg A′ ≤ n = 3  1  1 λ − 1 − 1 λ − 1 − 1 0    Rango de A. Dado que la matriz es cuadrada, se estudian los valores del parámetro que anulan el determinante, y serán los que se utilizarán para discutir el sistema. 0 1 1 λ = 0 det A = λ − 1 1 1 = 0 + (λ − 1)2 + 1 − 1 − 0 + (λ − 1) = λ·(λ − 1) = 0 :  λ = 1 1 λ −1 −1

Discusión: Sí λ ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A′ = n. Sistema compatible determinando. i.

ii.

 y+z =1 0 1 1  0 1 1 1      Si λ = 0. − x + y + z = 0 A =  − 1 1 1  A ' =  − 1 1 1 0  . El máximo rango  1 − 1 − 1  1 −1 −1 0  x−y−z = 0      que pueden tener ambas matrices es dos, ya que en ambas las filas segunda y tercera son 0 1 proporcionales. Tomando como referencia el menor = 1 ⇒ rg A = rg A′ = 2. Sistema −1 1  y+ z =1 compatible indeterminado. Sistema equivalente: S' :  − x + y + z = 0

iii.

y + z =1 0   Sí λ = 1.  y + z = 1 A =  0 1 x − z = 0   pueden tener ambas matrices

1 1 0 1   1 1 A' =  0 1 1 0 0 − 1  es dos, ya que en ambas 0 proporcionales. Tomando como referencia el menor 1

1 1  1 1  . El máximo rango que − 1 0  las filas primera y segunda son 1 = −1 ⇒ rg A = rg A′ = 2. 0

y + z =1 Sistema compatible indeterminado. Sistema equivalente: S' :  y − z = 0  y+ z =1 Para λ = 0. Sistema equivalente: S' :  . Para resolver el sistema se transforma una − x + y + z = 0 de las variables en parámetro y se resuelven las demás variables en función del parámetro. Para z = µ: x = 1  y+µ =1  y = 1 − µ SUST.  S' :  ⇒   → x − (1 − µ ) = µ ⇒ x = 1 :  y = 1 − µ ∀ µ ∈ ℜ − x + y + µ = 0 x − y = µ   z = µ  b.

79

 y+ z =1  Para λ = 3. 2 x + y + z = 3 . Aplicando Cramer A = 3·(3 − 1) = 6 x + 2 y − z = 0 

c.

x=

Ax A

=

1 1 1 3 1 1 0 2 −1 A

=

6 =1 6

y=

Ay A

=

0 1 1 2 3 1 1 0 −1 A

=

0 =0 6

z=

Az A

=

0 1 1 2 1 3 1 2 0 A

=

6 =1 6

Solución: (1, 0, 1)

Septiembre 2000. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 3 puntos  x + y + 5z = 0  a) (2 puntos) Discutir en función de los valores de k y resolver el sistema S1 =  2x − ky = 0  x−y+z =0  b) (1 punto) Discutir en función de los valores del parámetro λ y resolverlo en los casos de  x + y + 5z = 0  2 x − 3y = 0  compatibilidad el sistema S 2 =   x−y+z = 0 x + 2 y + 2λz = λ Solución a. Se pide discutir las soluciones de un sistema de ecuaciones homogéneas en función de un parámetro. Por ser un sistema homogéneo, el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada, ya que ambas matrices solo se diferencian en una columna de ceros. Puesto que los rangos coinciden, según el teorema de Rouché, el sistema es compatible, pues al menos admite la solución trivial(x = y = z = 0). Dependiendo que el rango coincida con el número de incógnitas ó no, la solución podrá ser determinada(rg A = rg A’ = n. Única) ó indeterminada(rg A = rg A’ ≠ n. Infinitas) 1 1 5   rg A = rg A' = n = 3. S.C.D. Solución trivial A =  2 − k 0 :   1 − 1 1   rg A = rg A' < n = 3. S.C.I. Infinitas solución   Para estudiar el rango de la matriz, se estudian los valores del parámetro que anulan la matriz de coeficientes. 1 1 5

2 − k 0 = −k + 0 − 10 − (− 5k + 2 + 0) = 4k − 12 = 4·(k − 3) = 0 : k = 3 1 −1 1 Discusión: i. Sí a ≠ 3, el det A ≠ 0. Sistema compatible determinado. Solución trivial, x = y = z = 0. x + y + 5z = 0 1 1  ii. Si a = 3, S1 =  2 x − 3y = 0 : = −5 ⇒ rg A = rg A’ = 2 < n = 3. Sistema compatible  x − y+z = 0 2 −3  indeterminado con un grado de indeterminación. Teniendo en cuenta el menor de orden tres  x + y + 5z = 0 que define el rango, el sistema equivalente es: S'1 =  . Para resolverlo, se  2 x − 3y = 0  x + 5 z = −λ transforma una variable en parámetro(y = λ): S'1 =  , resolviendo por  2x = 3λ sustitución: 3   x= 2λ  Solución :  y = λ  1 z = − 2 λ 

80

5 5 0  x + y + 5z = 0 1 1 1 1      2 x − 3y = 0 2 −3 0  2 − 3 0 0  b. definido por: A =  , S2 =  A ' =  1 −1 1 0  1 −1 1   x−y+z = 0      1 2 2λ   1 2 2λ λ  x + 2 y + 2λz = λ     A ⊂ A’ ⇒ rg A ≤ rg A’ ; n = 3 Teniendo en cuenta las dimensiones de las matrices: rg A ≤ 3, rg A’ ≤ 4 Dada las dimensiones de las matrices, si el determinante de la matriz ampliada es distinto de cero, el rg A’ = 4, mayor que el de A, y por tanto el sistema será incompatible. La discusión se hará a partir de los valores que anulan el determinante de la matriz ampliada. 1 1 5 0 1 1 5 2 −3 0 0 det A ' = = (−1) 4+ 4 λ· 2 − 3 0 = λ·0 = 0 1 −1 1 0 1 −1 1 1 2 2λ λ Para cualquier valor que tome λ, el rango de la matriz ampliada es menor o igual a tres.

5 1 1   2 −3 0  Rango de A: En la matriz A =  se busca un menor de orden dos distinto de cero, 1 −1 1     1 2 2λ    1 1 = −5 , y se estudian los menores orlados de orden tres: 2 −3 1 1 5 1 1 5 2 − 3 0 = 0 , 2 − 3 0 = 5·(7 − 2λ ) 1 −1 1 1 2 2λ Discusión: i.

Si λ ≠

x=

ii.

7 ⇒ A ≠ 0 . rg A = rg A’ = 3 = n. Sistema compatible determinado 2  x + y + 5z = 0  S 2 =  2 x − 3y = 0 A = 5·(7 − 2λ )  x + 2 y + 2λ z = λ 

0 1 5 0 −3 0 λ 2 2λ 5·(7 − 2λ )

=

1 0 5 2 0 0 1 λ 2λ

1 1 0 2 −3 0 1 2 λ

15λ − 10λ − 5λ : y= = : z= = 5·(7 − 2λ ) 5·(7 − 2λ ) 5·(7 − 2λ ) 5·(7 − 2λ ) 5·(7 − 2λ )

1 1 5 0    2 − 3 0 0  7 Si λ = ⇒ rg A = 2. Se estudia el rango de la ampliada. A ' =  1 −1 1 0  2   1 2 7 7  2  2 −3 0 7 1 − 1 0 = , rg A’ = 3 ≠ rg A 2 1 2 7 2 Sistema incompatible

81

Junio 2000. 3B. Calificación máxima: 3 puntos.  ax + y + z = (a − 1)·(a + 2)  Se considera el sistema de ecuaciones x + ay + z = (a − 1)²·(a + 2)  x + y + az = (a − 1)³·(a + 3)  (a) (1 punto) Comprobar que es compatible para todo valor de a. (b) (1 punto) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones para a = 1 y para a = −2 (c) (1 punto) Resolverlo para a = −2 Solución. a. Todo sistema de ecuaciones lineales está definido por dos matrices, la matriz de coeficientes(A) y la matriz ampliada(A’). a 1 1  a 1 1 (a − 1)·(a + 2)      A =  1 a 1  A ' =  1 a 1 (a − 1) 2 ·(a + 2)  1 1 a   1 1 a (a − 1) 3 ·(a + 2)      rg A ≤ rg A’ ≤ n = 3 siendo n el número de incógnitas. Según el teorema de Rouché, un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Rango de A. Para estudiar el rango de una matriz cuadrada en función de un parámetro, se estudian los valores del parámetro que anulan el determinante. a 1 1 (a − 1)2 = 0 ⇒ a = 1 det A = 1 a 1 = a 3 + 1 + 1 − a − a − a = a 3 − 3a + 2 = (a − 1)2 ·(a + 2) = 0 :  (a + 2) = 0 ⇒ a = −2 1 1 a i. ii.

Sí a ≠ −2 ó 1 ⇒ |A| ≠ 0. rg A = 3 = rg A’ = n. Sistema compatible determinado Sí a = −2 ó 1, todos los términos independientes se anulan, convirtiéndose el sistema en homogéneo y por tanto, ser compatible

1 1 1    b. Sí a = 1. Sistema homogéneo(A ≡ A’). A = 1 1 1 . rg A = rg A’ = 1 < n = 3. Sistema 1 1 1    compatible indeterminado con dos grados de indeterminación. Se interpreta geométricamente como: Planos coincidentes

1  − 2 1   −2 1 = 3 ≠ 0 rg A = rg A’ = Si a = −2. Sistema homogéneo(A ≡ A’). A =  1 − 2 1  . 1 −2  1  1 − 2  2 < < n = 2. Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. Se interpreta geométricamente como: Haz de planos de arista común

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− 2 x + y + z = 0  c. Para a = −2:  x − 2 y + z = 0 . Que el rango del sistema sea dos, indica que en el sistema solo  x + y − 2z = 0  hay dos ecuaciones linealmente independientes. Tomando como referencia el menor de orden dos que determina el rango del sistema, las ecuaciones linealmente independientes son aquellas que contienen los términos de dicho menor. − 2x + y + z = 0 S' :   x − 2y + z = 0 Para resolver el sistema se toma una cualquiera de las variables como parámetro: Para z = λ:

 − 2 x + y = −λ − 2 1 : =3  1 −2  x − 2 y = −λ

x=

Ax A

=

−λ 1 −λ −2 3

=

3λ =λ 3

x=

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Ax A

=

−2 −λ 1 −λ 3

=

3λ =λ 3