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TRABAJO PRACTICO Nº 1 : NUMEROS REALES ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y RESOLUCION DE PROBLEMAS ESCUELA DE ECONOMIA, ADMINISTRACION Y TURISMO – U.N.R.N. – AÑO: 2018 1) Utilizando los diagramas de Venn, representa todos los conjuntos numéricos. 2) Clasifica los siguientes números, marcando con una X donde corresponda: Naturales Enteros Racionales Irracionales – 42,57 125

Reales

Complejos

 8,4  2,30 2 1 3 25 0 1.000.000 0,3333… 1+ ½

 3 15 3

3) Ordenar de menor a mayor, y ubicar en la recta real: 3; 4) Simplificar:

3 2 1 ; 0;  3; ; 0,6; ;  1;  1,2; 3,15;  ; e. 2 3 2

18 2500 735 77000 2140 36 ; ; ; ; ; 15 5000 750 44000 360 99

5) Buscar por lo menos tres números entre los indicados: a) 1 y 1,5 b) 1 y 1,1 c) 1 y 1,01 d) 2/5 y 3/5 6) Escribir en cada caso la expresión decimal y su forma fraccionaria: a) 3 décimos; b) 14 centésimos; c) 37 décimos; e) un doceavos; f) trece treceavos: g) un millonésimo; 7) Resuelve:

d) 85 milésimos; h) 90 treintavos.

a) 15  45  10  5  20  15 : 40  18  3  b)  4816  12  8 : 4  24  18 : 6 : 4  c) 50  8  6  3 : 3  4  2  16  8 : 4  2  5  d)

 2 5 4  20 :  5 :  2   10   3  2

8) i) Resuelve la siguiente operación combinada utilizando propiedades (sin calculadora). ii) Indica todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenece el resultado.

1 3 2 1 3 9 2 1 2   b)    c)    d) 5   2 5 7 14 2 2 5 3 3  2 3   1 20  g)         h) 2  1  1    3  2    4  3   9 8 5 3      2  3 3 4

a)

j)  4  1    1   1  3    2    4 2 

 4 3 : 4 (5 2 ) 2   7  5 :  2 5  5  2

k) 

9 11 2  3  f) 1   5 6 3 4   3 i)  : 2    6 :   1  7   4

e)

3 2  1 2 3 1 2 l) 2         ( 1) 4        4   11  2   2 

1

1 2 1  1 1 2 4   1  2   2 5  5 27 3  (  100 )        2 ll)    4 :     1    m) 2  :    0 4   49  5  3  (1)  8   3     2  1

2  1 2 1 1 6 1 n)       7  2       144  ñ) 7  9  4  7 4 

 5  24 / 5 2 :  1/ 5 2  3  3 27  0,53 36 5    2  o)  2 121 2 1/ 3  :  5 / 6   



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9) Expresa en un solo renglón el cálculo que hay que hacer para resolver el siguiente problema y encuentra la solución, sin usar la calculadora: “Una caja de ahorros tiene un saldo inicial deudor de $7825; recibe 18 depósitos de $2500 cada uno y4 de $1830 cada uno; luego se extraen, sucesivamente, tres veces $9500; la cuarta vez $4825 y las dos últimas veces, $3218 en cada una. ¿Cuál es el saldo actual?” 10) María compró 18 litros de pintura para pintar 3 ambientes de su casa. Usó cuatro novenos del total para el living, y un cuarto para la cocina. Cuando terminó de pintar su cuarto, le sobró medio litro de pintura. ¿Cuántos litros usó para pintar su cuarto? 11) Un campesino ha recolectado 6720 kg de alfalfa para alimentar a sus 7 vacas durante 120 días. Al cabo de 15 días compra otras 3 vacas. Determina la cantidad de alfalfa que le faltará para alimentar a sus vacas durante el tiempo previsto. (Rta: 2520 kg) 12) Expresa los siguientes intervalos como conjuntos y grafica: [5;9]

(0;

1 ) 3

(2;3]

[ –1,5 ; 4 )

13) Expresa en forma de intervalos y grafica: a) 2  x  3 b) 2  x  3 e) x  5 f) x  5

(– ;–

c) 5  x g) x  3

1 ) 2

(2 ; +) d) 5  x h)  2  x  4

14) Resuelve las siguientes situaciones usando desigualdades: a) Mora es la hermana del medio. Su hermana menor tiene 20 años. Su hermano mayor tiene cinco años más que su hermana menor. ¿Cuántos años puede tener Mora? b) Jorge consiguió un trabajo para la temporada de verano en un restaurante. Le ofrecen por día $210. Además puede obtener hasta $500 de propina diarios, aunque hay días que quizás no consiga ninguna propina. Va a trabajar 15 días corridos. Indica cuánto es lo máximo y lo mínimo que puede llegar a cobrar en la quincena. 15) Calcula el porcentaje de los siguientes números mentalmente y luego en tu cuaderno. a) 20% de 180 b) 90% de 1200 c) 110% de 2000 d) 150% de 400

e) 11% de 300

16) Completa la siguiente tabla:

Porcentaje 10% de x

Fracción 1 x 10

Expresión decimal

Significado

0,1x

El 10% es la décima parte.

20% de x

El 20% es………………….…………….

0,25 x

1 x 2

El …… % es……………………………. El ……% es…………………………….

17) Resolver los siguientes problemas, explicando claramente todos los pasos: a) El número de alumnos de una escuela descendió de 855 a 709. Expresa en porcentaje esta reducción. b) Ana compró un terreno por 247.000$. Ahora quiere venderlo y desea ganar un 20% con la venta. ¿A qué precio debe venderlo? c) Ayer hubo 48 alumnos en la clase de Juan. La preceptora comentó que hubo un 20 % de ausentismo. ¿Cuántos alumnos hay inscriptos en la clase de Juan? d) El 28% de la producción de naranjas de una quinta se ha perdido a causa de un temporal. El productor ha recolectado 720kg. ¿Cuál hubiese sido la producción si no hubiera ocurrido el temporal? e) Un par de zapatos que costaban 875$ han aumentado y ahora su precio es 1172,50$. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento? f) Un teléfono celular cuyo precio era de 5000$, cuesta en la actualidad 300$ menos. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?

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g) El Sr. Moretti desea comprar un televisor. En un negocio el precio de lista del mismo es de $8650. Si lo paga de contado le descuentan $650. Si lo paga con tarjeta le recargan un 20 %. Encuentra el porcentaje de descuento si paga de contado y cuánto terminaría pagando en cada caso. h) En una bolsa de 200 caramelos hay 110 de fruta y el resto de leche. ¿Cuántos caramelos de fruta hay que agregar para que los caramelos de fruta sean el 70% del total de la bolsa? 18)

19) El dueño de un bar consumió estas cantidades de café en una semana para atender a sus clientes: LUNES: 7/2 kg MARTES: 11/ 4 kg MIERCOLES: 2000 gr JUEVES: 3,75 kg VIERNES: 4 ¼ kg SABADO: 3 ½ kg DOMINGO: 17 / 4 kg a) b) c) d)

¿Cuál fue el consumo total de la semana? ¿Cuál fue el promedio diario? ¿Qué porcentaje representa lo consumido el día miércoles respecto al total consumido en la semana? Indica si la siguiente afirmación es V o F: “El consumo diario promedio de café es aproximadamente de un 14% del total semanal”. Justifica claramente.

Logaritmos Definición de LOGARITMO:

log a (b)  c  a c  b

Propiedades:

log a (mn)  log a m  log a n

m log a    log a m  log a n n

log a 1  0 log a a  1 logb m 

log a (m r )  r  log a m

log a m log a b

20) Calcula utilizando la definición: a) log x x 

b) log100  

e) log11 121 

f) log121 11 

i) ln e 

j) log 6 

 1    36 

1 2 g) log 0,001 

d) log a 1 

c) log 2   

h) log 5 25 

 

k) ln e 2 

l) log a 1 

21) Expresa en forma logarítmica: 1

a) 5 3  125

b) 81 2  9

c) 10 4  0,0001

d) 8 1 

1 8

e) e x  2

22) Realizar las siguientes operaciones sin usar la calculadora, aplicando propiedades:

f) a 1  a

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a) log 45 5  2 log 45 3 

b) log 3 5  log 5 3 

1 log 3 (1)  log 2   8 d) log 5 (10).log(54 )  log 6 18  log 6 2

c) 2 log 4  2 log 5 

2 e

e) ln  

4

1 log 16  2

f) 2 log 4  2 log 5 

1 log 16  2

23) Sabiendo que log a X  2 ; log a Y  3 y log a Z  4 hallar: a) log a

XY 

b) log a

X Z 

c) log a

X 3 Y  Z2

d) log a

X Y  Z

e) log Z X 

Aplicaciones de los logaritmos La escala logarítmica Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una cantidad en lugar de la propia cantidad. Cuando es necesario representar una serie de valores y el rango que abarcan es grande, una escala logarítmica puede proporcionar un medio de visualización de los datos mejor que una escala lineal. La escala logarítmica se representa con distancias proporcionales a los logaritmos de los valores que se representan. Por ejemplo, en la figura, en ambas gráficas, se han representado los valores: 2, 5, 20, 60, 320, 780, 1500, 4900.

24) En un papel cuadriculado dibuja un eje con escala lineal que abarque del 0 al 20 usando esta relación: una unidad equivale a 1 cm. Usando log. decimales, transforma esa escala en logarítmica. Dibuja el eje con escala logarítmica. ¿En qué escala representarías 9, 1100, 11000, 110000? 25) Las escalas logarítmicas son muy útiles para comparar valores. En los siguientes gráficos se representan los pesos de los mamíferos marinos australes. ¿Cuál de los dos gráficos te parece mejor para comparar los pesos de estos animales entre sí? ¿Por qué? ¿Cuál es el peso promedio de cada uno de los 6 animales?

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Los logaritmos y los terremotos La escala de Richter es una graduación de la magnitud de los sismos, deducida en 1935 por el geofísico Charles Richter. La escala se definió originalmente como el logaritmo de la amplitud del movimiento de un sismógrafo estándar situado a 100 km de distancia del epicentro de un sismo. Esta escala se emplea para evaluar los daños ocasionados por los sismos, y mide la cantidad de energía liberada de un temblor en su centro o foco; el rango de la escala va de 1 a 10 grados, aunque es abierta, y la intensidad crece de forma exponencial de un número al siguiente. Como la escala de Richter es logarítmica, cada unidad de magnitud indica un aumento de 10 veces en la amplitud de la onda. Pero el incremento de la energía correspondiente a cada unidad es estimado por los sismólogos como de aprox. 30 veces; un terremoto de magnitud 2 es 30 veces más potente que uno de magnitud 1; un terremoto de magnitud 3 es 30 veces más potente que uno de 2, y por consiguiente 900 veces más potente que un terremoto de magnitud 1, y así sucesivamente. 26) a) Explica con tus palabras qué se representa en cada eje en el gráfico anterior. b) ¿Qué significa que un sismo ha sido de grado 7 en la escala de Richter? ¿Qué potencia tiene respecto a un sismo de grado 1?

 A  donde A es la amplitud medida  p

c) Para calcular el grado de un sismo se utiliza esta fórmula: R  log

en micrómetros (1 micrómetro = 10–4 cm) y p es el período medido en segundos. d) ¿Cuál es la magnitud de un sismo cuya amplitud es de 0,01 cm y dura un segundo? e) ¿Cuál será la amplitud de un sismo de 10 segundos de magnitud 6,5?

Los logaritmos y el sonido Los decibelios son las unidades que se utilizan para medir lo intenso que percibimos un sonido. El oído, al igual que la vista o el tacto, no tiene una sensibilidad proporcional al estímulo, sino que todos los sentidos intentan ser muy sensibles a los estímulos muy débiles y en cambio ser muy toscos, burdos o poco sensibles a los estímulos muy fuertes. Es decir, podemos apreciar el más leve susurro de la brisa o de las hojas de los árboles, pero no nos quedamos sordos al hablar nosotros mismos o al escuchar a otra persona, a pesar de que la intensidad sonora es un millón de veces superior. Podemos incluso soportar el ruido del tráfico o el despegue de aviones que producen una intensidad sonora de un billón de veces más fuerte que el de las hojas de los árboles. La sensibilidad del oído abarca desde el sonido más débil que puede percibirse, hasta uno un billón de veces superior. Estas diferencias tan abismales, de 1 a un billón, hacen difícil de manejar y comparar los sonidos y los ruidos. Por lo tanto, interesa transformar esa escala en otra más manejable.

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La intensidad sonora se mide en una escala logarítmica conocida: los decibelios. En esta escala, los belios, equivale a contar el número de ceros de una cifra. Una cantidad de 10, al tener un cero, equivale a 1 belio, mientras que 1000000 (un millón), con sus seis ceros, equivale a 6 belios. En cambio, los decibelios, (décima parte de un belio), cuentan también el número de ceros de una cantidad, pero después se multiplica por 10. Por ejemplo, 1000, como tiene 3 ceros, correspondería a 3 belios, pero en decibelios sería 3*10 = 30. Por tanto, 1000 equivale a 30 db. Un millón, como tiene 6 ceros, corresponde a 60 decibelios. Y un billón, que es difícil de manejar, como tiene 12 ceros equivale a 120 decibelios. Los logaritmos y la música Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Los logaritmos y la química El pH de una solución se define como – log [H+ ], siendo [H+ ] la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro. Cuando el pH es menor que 7 la solución es ácida, si es igual a 7 es neutra y, cuando es mayor, es alcalina.

Los logaritmos y la antropología La edad de un artefacto antiguo puede ser determinada por la cantidad de carbono 14 radiactivo restante en una muestra. Si D0 es la cantidad original de carbono14 y D es la cantidad restante,  D  . entonces la edad A del artefacto (en años) está dada por A  8267 ln  D0  27) Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que queda en el objeto es 73% de la cantidad original D0.