TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (CONTINUACIÓN) ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. – AÑO: 2010 LOS EJERCICIOS CON ASTERISCOS SON OPTATIVOS 1) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 2x2 por los métodos gráfico, de igualación y de sustitución, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son:

x 4  = a) (*)  y 5 b) 0,5 x + 0,2 y = 6 

x + y  y − x = 5  15 x − 4 y − 3 = 4 x − 3 y + 1  6 5 5

x + y  3 + y = 15 c)  x − y + y = 6  5

2) Resolver los siguientes sistemas de 3x3 por todos los métodos vistos:

x + 2 y + z = 1  a) 2 x + y − z = 0 x + y + z = 0 

  x + 3 y = 14 − 4 z  b) (*)  x + 2 y = z − 25  x+ y+z 5 = 7 

 x − 2 y = 10  c) 3 y + 1 = −4 z 5 x − 18 = z 

3) Plantear los sistemas de ecuaciones y luego resolver los problemas por cualquiera de los métodos vistos: a) Herón de Siracusa hizo hacer una corona de oro que pesaba 7465 gr. Para saber si el orfebre había reemplazado al oro por plata, Arquímedes sumergió la corona en agua, donde ella perdió 467 gr. de su peso. Se sabe que el oro pierde 0,052 de su peso y la plata 0,095. ¿Cuánto oro y cuánta plata tenía la corona? b) (*) Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $ y un total de 2000 $. Si el número de billetes de 10 $ es el doble que el número de billetes de 20 $, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. c) (*) Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 peso. Se sabe que en total hay 36 pesos. El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja. d) Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de pesos. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600000 $. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de pesos. ¿Cuánto le costó cada objeto? e) Con dos clases de café de 9$ y 12$ el kilo se quiere obtener una mezcla de 10$ el kilo. Hallar la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla. f) Un avión tiene una velocidad de 310 km/h cuando vuela a favor del viento y una de 150 km/h al volar en contra. ¿Cuál es la velocidad propia del avión y cuál la del viento? g) Una empresa ha vendido 42000 artículos de papelería, lapiceras, gomas de borrar y marcadores, al precio de $1.2, $1.5 y $2 respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a $64000. Se sabe, además, que el número de lapiceras que se ha vendido es el 40% del número total del resto de artículos vendidos. Determinar la cantidad de artículos vendidos de cada tipo. h) Una compañía paga a sus trabajadores calificados $16 por hora y a los semicalificados $9,5 por hora. Loe empleados que realizan envíos cobran $10 la hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar 70 empleados más, para lo cual ha decidido pagar un total de $800 la hora. A causa de un arreglo con el sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que calificados. ¿Cuántos empleados calificados, semicalificados y de envíos debe contratar la compañía? i)

(*) Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando uno pierda una partida entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24$. ¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego?

j)

Un grupo de personas se reunió para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resultó ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número hubiera igualado al de hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños se reunieron?

k) Un estudiante obtuvo, en un examen que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. Determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. l)

(*) El precio de entrada a cierta exposición es de 20$ para los niños, 50$ para los adultos y 25$ para los jubilados. En una jornada concreta, la exposición fue visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a 7350$. ¿Cuántos niños, adultos y jubilados asistieron ese día a la exposición?

m) Un fabricante vende un cierto producto por 110 $ la unidad. Los costos de producción ascienden a 60$ por unidad, y sus costos fijos son de 7500$. ¿Cuántas unidades debe vender y qué ingresos le generarán, para lograr un beneficio nulo? n) Las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son y=4x+200, y=-3x+480, respectivamente. Hallar el punto de equilibrio del mercado para este producto. 4) Resuelve el siguiente sistema de 4x4, si es posible, por el método de Cramer, y por Gauss.

x + z = 3 x + y + w = 9   x + y + 2z − w = 3  x − 2 y − z + w = −2 Respuestas: 1) a) x = 8; y = 10

b) x = 2; y = 3

2) a) x = − 2 ; y = 1; z = − 1 3 3

c) Incompatible.

b) x = 20; y = 10; z = 5

c) x = 4 : y = −3; z = 2

3) a) La corona tenía 5631,97 gramos de oro y 1833,03 gramos de plata. b) 50 billetes de 10$, 25 de 20$ y 20 de 50$. c) 19 monedas en la caja A, 11 en la B y 6 en la C. d) Cada uno de los dos primeros objetos de arte costaron 500000$ y un millón de pesos costó el tercer objeto de arte. e) Hay que mezclar 20 kg del café de 9$ y 10 kg del café de 12 $. f) La del avión es 230 km/h y la del viento es 80 km/h. g) 12000 lapiceras, 20800 gomas de borrar y 9200 marcadores. h) 40 semicalificados, 20 calificados y 10 empleados de envíos. i) El que perdió la primer partida tenía 39$, el que perdió la segunda tenía 21$ y el que perdió la tercer partida tenía 12$. j) 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. k) Obtuvo un punto en la primer pregunta, 3 puntos en la segunda y 4 en la tercera. l) 30 niños, 100 adultos y 70 jubilados. m) 150 unidades, que dan un ingreso de 16500$. n) x=40 ; y=360. 4) x=1 ; y=3 ; z=2 ; w=5.